文档介绍：2011中考冲刺数学专题9——动态几何问题
【备考点睛】
动态几何问题,是以几何知识和具体的几何图形为背景,渗透运动变化的观点,通过点、线、形的运动,图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中,要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力,对图形的想象能力,动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。动态几何问题,以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题,它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身,题型新颖、灵活性强、有区分度,受到了人们的高度关注,同时也得到了命题者的青睐,动态几何问题,常常出现在各地的中考数学试卷中。
动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题,在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质,以三角形、四边形为主,主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。
【经典例题】
类型一、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程。
例题1 如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
解答:
A
Q
C
D
B
P
(1)①∵秒,∴厘米,
∵厘米,点为的中点,∴厘米.
又∵厘米,∴厘米,
∴.
又∵,∴,∴.
②∵, ∴,
又∵,,
则,
∴点,点运动的时间秒
,∴厘米/秒.
(2)设经过秒后点与点第一次相遇,由题意,得,解得秒.
∴点共运动了厘米.
∵,∴点、点在边上相遇,∴经过秒点与点第一次在边上相遇.
例题2 如图,在梯形中, 动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;.
(1)求的长.
(2)当时,求的值.
(3)试探究:为何值时,为等腰三角形.
解答:
(1) 如图①,过、分别作于,于,
则四边形是矩形
∴在中,
,
在中,由勾股定理得,
∴
(图①)
A
D
C
B
K
H
(图②)
A
D
C
B
G
M
N
(2)如图②,过作交于点,则四边形是平行四边形
∵∴∴∴
由题意知,当、运动到秒时,
∵∴又
∴∴即解得,
(3)分三种情况讨论:①当时,如图③,即∴
②当时,如图④,过作于
解法一:由等腰三角形三线合一性质得
A
D
C
B
M
N
(图③)
(图④)
A
D
C
B
M
N
H
E
在中,又在中,
∴解得
解法二:∵∴
∴即∴
③当时,如图⑤,过作于点.
(图⑤)
A
D
C
B
H
N
M
F
解法一:(方法同②中解法一)
解得
解法二:
∵∴
∴即∴
综上所述,当、或时,为等腰三角形
例题3 (湖北武汉) 如图,拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),C(2,)两点,与x轴交于另一点B;
(1) 求此拋物线的解析式;
P
M
Q
A
B
O
y
x
(2) 若拋物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且ÐMPQ=45°,设线段OP=x,MQ=y2,求y2与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3) 在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别
与拋物线交于点E,G,与(2)中的函数图像交于点F,H。
问四边形EFHG能否为平行四边形?若能,求m,n之间的
数量关系;若不能,请说明理由。
P
M
Q
A
B
O
y
x
N
解答: (1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),C(0,)两点,
∴,∴a= -,b=,
∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+。
(2) 作MN^AB,垂足为N。由y1= -x2+x+易得M(1,2),
N(1,0),A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,
O
E
F
G
H
x
y
ÐMBN=45°。根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。
∴(2)2-22=PM2= -(1-x)2…j,又ÐMPQ=45°=ÐMBP