文档介绍：2011中考冲刺数学专题10——几何计算问题
【备考点睛】
几何计算问题常见的有:求线段的长、求角的度数,、求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时,“几何计算”具有广泛的意义:
一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系,在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示,无疑地就会涉及到几何量的计算;
二、当我们注重研究图形的动点问题,图形的变换及运动问题,在坐标系里研究图形的一些问题时,就愈是不可避免地要借助几何量的计算;
三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题,更是必须依靠几何量的计算来解决。
几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段,是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就是说,许多以图形为基础的研究性问题,许多几何与代数相结合的问题,许多图形的变换及其它形式运动的问题,都是以计算为基础,为依据,为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题,在填空选择各类题型中都可以体现,且往往会多处出现。
【经典例题】
类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算
例题1 如图,在中,。将绕点C逆时针旋转30°得到, 与AB相交于点D。求BD的长。
解答:分析:注意到若作于点G,如图(1`)则
可得中,DG=BG,同时在,
而CB=1,从而可构造关于BD的方程,求得其值。
解:如图(2),作于点G,设BD=,
中,
在中,,
。
即解得。
的长为。
例题2 如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,连结CE,若于点F,且AF平分求的值。
A
B
E
D
C
F
G
解答:首先,在中,
剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系,如去求出CF用AC表示的代数式。
为此,去研究相应的条件:
①由ABCD为等腰梯形,BECD为平行四边形(BE//CD,BE=CD),可知:AC=BD=EC;
②由知且AF平分得是等腰三角形,
设AF交BD于点G,则
③由BG//EC,知∽,
如此一来,
当然就有。
例题3 如图,把一副三角板如图(1)放置,其中,,斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图(2), 这时AB与相交于点,与AB相交于点F。
(1)求的度数;
(2)求线段的长;
(3)若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到,这时点B在的内部,外部,还是边上?证明你的判断。

解答:分析:对于(1),如图(3),设CB与相交于点G,则可通过与内角的关系,求得的值;
对于(2),可先推出,并导出的长;
对于(3),设直线CB交于,应在中计算出的长,为此为基础进行判断。
解:(1)设CB与相交于点G,如图(3),则:
A
C
B
F
O
G

。
(2)连结,

又
。
在(3)
。
(3)点B在内部,理由如下:
设BC(或延长线)交于点,
在,
又,即点B在内部。
例题4 如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为,则它们重叠(如图中阴影)部分的面积是( )
A、
B、
C、
D、
解答: 分析:将原问题抽象为图(2),在菱形ABCD中,,顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1,求菱形ABCD的面积。
为此,作交CD的延长线于点H,则有
其中
解:应选A。
类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算
A
B
C
D
F
P
E
Q
例题5 如图,在边长为8的正方形ABCD中,P为AD上一点,且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E,F,Q为垂足,
则EQ:EF的值是( )
A、 B、
C、 D、
(1)
A
B
C
D
F
P
E
Q
G
解答:分析:容易看出∽得
即。
而根据正方形的性质,易知,如图,把FE平移至CG的位置,
由有,
解:选C。
说明:在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来,分别将线段EQ,EF借助BP表示出来,从而算出这两条线段的比。
例题6 已知,三个边长分别为2,3,5的正方形如图排列,则图中阴影分部的面积为。
2
3
5
解答:分析:可以用直接法或间接法,但都需要计算出有关线段的长,
这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。
解:如图,∽∽
则
G
J
A
F
I
H
N
E
D
M
C
B
。

说明:正是借助于图中的相似三角形,使得线段CM,EN,从而线段GM,FN的计算得以落实。
A
B
C
例题7 某装修公司要在如图所示的五角星图形中,沿边每隔20厘米装一盏闪光灯,若米,则共需要装闪光灯( )
A、 100盏
B、 101盏
C、 102盏
D、