文档介绍：例说求函数的最大值和最小值的方法
,求函数的最小值。
解:先估计y的下界。
又当x=1时,y=5,所以y的最小值为5。
说明本题是利用“配方法”先求出y的下界,然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的,否则就不一定对了。例如,本题我们也可以这样估计:
但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。
例2. 求函数的最大值和最小值。
解去分母、整理得:(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.
当时,这是一个关于x的二次方程,因为x、y均为实数,所以
D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)³0, y2+3y--4£0,
所以-4£y£1
又当时,y=-4;x=-2时,y==-4,ymax=1.
说明本题求是最值的方法叫做判别式法。
,xÎ[0,1]的最大值
解:设,则x=t2-1
y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1
原函数当t=时取最大值
例4求函数的最小值和最大值
解:令x-1=t ()
则
ymin=
,y满足1£x2+y2£4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值
解:∵
∴
又当时f(x,y)=6,故f(x,y)max=6
又因为
∴
又当时f(x,y)=,故f(x,y)min=
解:原函数即
令(0<t£1) 则y=5t2-t+1
∴当x=±3时,函数有最小值,当x=0时,函数取最大值5
解:设,则
f(x)=
由于 0£a<1,故f(x)£,又当x= (k为整数)时f(x)= ,
故f(x)max=
解:原函数即
在直角坐标系中,设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1),则
f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=
又当时,f(x)=
故f max (x) =
,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m,当0£a2-4a-2£10中变动时,求m的最大值
解:y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a
由0£a2-4a-2£10解得:或£a£6
故当a=6时,m取最大值18
(x)=log2(x+1),并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点在y=g(x)的图象上运动,求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。
解因为点(x,y)在y=f(x)的图象上,所以y=log2(x+1)。点在y=g(x)的图象上,所以故
令, 则
当,即时,,所以
从而。
,最大值是6,求实数a、b的值。
解:将原函数去分母,并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.
若y=a,即y是常数,就不可能有最小值2和最大值6了,所以y ¹a。于是
D=b2-4(a-y)(6-2y)³0,所以y2-(a+3)y+3a-£0.
由题设,y的最小值为2,最大值为6,所以(y-2)(y-6)£0, 即 y2-8y+12£0.
由(