文档介绍：※.本课时研究内容:
由椭圆与直线的位置关系引伸出的有关问题的解题技巧
mx0+ny0k=0
直线 l与⊙A相离
d >R
直线 l与⊙A相切
d =R
直线 l与⊙A相交
d <R
l
R
R
R
d
d
d
F
E
C
C
C
△>0 直线与圆相交
△<0 直线与圆相离
△=0 直线与圆相切
圆与直线的位置关系
位置
关系
交点
个数
判别式
△=b2-4ac
圆心(x0,y0) 到直线的距
离 d与圆半径R的关系
相离 0 △=b2-4ac<0
相切 1 △=b2-4ac=0
相交 2 △=b2-4ac>0
弦长公式:
把圆(一条封闭曲线)看成是一个“区域”,利用线性规划的知识求最值;
求解与弦有关的一些问题(如弦长、弦的中垂线等).
求直线方程(如切线、弦所在的直线方程等)与圆方程;
y
0
x
x
y
0
长短轴的长相等(离心率为0)
垂直
不垂直
与直线的关系问题
二次曲线与直线的关系问题,是解析几何的一个重要内容,,这部分内容必考无疑!务必引起大家重视.
例1:在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1),且被这一点平分的弦所在的直线方程.
a
x
y
0
·M(2,1)
2
-2
-4
4
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
不可能!
本例可考虑两个交点这一事实,由此得出△=k2+4k+3>0,再利用了弦中点坐标,列出方程, .
解中得到了
从而揭示了弦中点坐标与弦的斜率的关系:mx0+ny0k=≠x2条件.
本例的解法除了运用前面讲的弦中点坐标与弦的斜率的关系,得到:x0+3y0k=0外,还运用了“点Q(x0,y0)在椭圆内部”,并由此建立了不等式,解决了问题.
例2:已知椭圆的一个顶点A的坐标是(0,-1).试问是否存在一条斜率为k(k≠0)的直线,使之与椭圆有两个交点M、N,且满足|AM|=|AN|?
x
y
0
1
A
-1
(x1,y1)
(x2,y2)
Q(x0,y0)
注:本例当然可以用判别式来解决,但会繁一点,大家可以在课外作为练****做一下.
N
M
∟
:
+ny2=1的一条弦AB的斜率为k, 弦AB的中点为M, O为坐标原点,设MO 的斜率为k0, 求证:kk0=
略证:设弦AB的中点M坐标为(x0,y0).
则有mx0+nky0=0,
故k= 而k0=
所以kk0= =
:A,B是椭圆上两点线段AB的中垂线交x轴于点P(x0,0).
求证: .
y
a
-a
-b
b
x
0
A(x1,y1)
B(x2,y2)
分析:.
P(x0 ,0)
Q(m,n)
∴
略证:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点是Q(m,n),则代入椭圆方程得b2m+a2nkAB=0
又
故有
于是
∴
而m∈(-a,a) 故
A(x1,y1)
B(x2,y2)
0
x
Q(m,n)
y
P(x0,0)