文档介绍：线性代数第二章总结第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象,是求解线性方程组的一个有力工具,它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。本章的教学基本要求:理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律;理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵存在的条件,了解求逆矩阵的伴随矩阵法;熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法;了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质;了解分块矩阵及其运算。本章的重点及难点:矩阵的各种运算及其运算规律,尤其矩阵的乘法;逆矩阵存在的条件,利用伴随矩阵法会求逆矩阵,主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵;用逆矩阵求解矩阵方程。 1矩阵的概念一、内容提要 ?n个数排成的m行n列的矩形数表?a11 ??a21 ? ???a?m1 a12a22?am2 ?a1n? ? ?a2n? ??? ?amn?? 称为一个m×n矩阵,其中aij表示位于数表中第i行第j列的数。 aij又称为矩阵的元素。规定,1×1矩阵(a)?a。矩阵也可表示为(aij)或(aij)m?n。如果不需要表示出矩阵的元素,通常用大写英文字母表示矩阵,如:A,B,...,或Am?n,Bm?n,...。元素都是实数的矩阵称为实矩阵;有复数元素的矩阵称为复矩阵。若两个矩阵的行数、列数分别相等,则称它们是同型矩阵。矩阵A=aijm?n,B=bijm?n是同型矩阵。若它们的对应元素相等,即???? aij?bij?i?1,2?m;j?1,2?n?那么称矩阵A与矩阵B相等,记作:A=B。 。如一个m?n的零矩阵为?0??0 ? ???0? 0?0? ? 0?0? ???? ? 0?0??m?n 记为0m?n。在不会引起混淆的情形下,也可记为0。行矩阵仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量),如A=?a11a12?a1n?也记为A=?a11,a12,?,a1n? 列矩阵仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量),如?a11? ???a21?A=? ?????a??n1? 方阵行数和列数相同的矩阵称为方阵,例如?a11??a21A=? ???a?n1 a12a22?an2 ?a1n? ? ?a2n? ??? ?ann?? 称为n?n方阵,常称为n阶方阵或n阶矩阵,简记为A=aij ?? n 。在n阶方阵中,过a11,a22,?,ann元素的直线,称为方阵的主对角线,主对角线上的元素称为主对角元。对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如??1????? ??? 矩阵Λ中未写出来的元素为0。?2 ????。? ??n?? 单位矩阵主对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵。简记为E或I。有时为了表明矩阵的阶数,将阶数写在下标处,如?1? ?? 1?? En?? ?? ???1???n 表示n阶单位矩阵。数量矩阵主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵。如?c??? c?? ?。?? ???c??? 三角矩阵主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵。如?a11?? ? ??? 为n阶上三角矩阵; a12a22 ?a1n? ? ?a2n? ??? ?ann?? ?a11 ??a21 ? ???a?n1 为n阶下三角矩阵。二、例题分析 a22?an2 ????? ? ?ann?? 矩阵理论在自然科学、工程技术及经济领域中,都有广泛的应用。下面举几个例子,说明矩阵概念的实际背景。例1在国民经济的数学问题中,常常用到矩阵。例如,假设要将某种物资从m个产地 C1,C2,...,Cm运往n个销地B1,B2,...,Bn。如果用pij表示由产地Ci运到销地Bj的数量,那么这个问题的调运方案就可用一个矩阵表示: ?p11??p21 ? ???p?m1 换为 p12p22?pm2 ?P1n? ? ?P2n? 。??? ?Pmn?? 例2在解析几何中矩阵是研究坐标变换的有力工具。例如,平面直角坐标系的旋转变?x?x'cos??y'sin? ? ?y?x'sin??y'cos? 其中?为x轴与x′轴的交角。显然,新旧坐标之间的关系可以通过公式中系数所构成的矩?cos? 阵??sin? ? ?sin?? ??cos?? 完全确定,它称为上述坐标变换的矩阵。例3n个变量x1,x2,?,xn与m个变量y1,y2,?,ym之间的关系?y1?a11x1?a12x2???a1nxn? ?y2?a21x1?a22x2???a2nxn ? ?????????????ym?am1x1?am2x2???amnxn 表示一个从变量x1,x2,?,xn到变量y1,y2,?,ym的线性变换,其中aij为常数。线性变换的系数aij构成矩阵A=(aij)m?n 三、小结矩阵的实质:矩阵(aij)m?n是由m行n列元素组成的一个数表。矩阵与