文档介绍：谈用数学命题的探索、推广方法在教学中培养学生探索、创新思维能力
老弓阳
摘要:本文是在对教学经验的积累的基础上,在数学知识中探索命题的特点开始,着手于对例题的不同结构,不同类型出发、对命题进行不同形式上的推广,并对推广的命题在教学中的作用进行了阐述,对培养学生的思维能力、探索能力、创新能力都起到应有的作用。
关键词:探索、推广、培养
数学教学不仅是数学知识的教学,更主要的是培养学生的思维能力、运算能力、判断能力、探索能力、创新能力、知识归纳和运用能力以及解决实际问题的能力的教学。,鼓励他们大胆探索,提供多形态的数学信息,,培养他们的探索、造性思维能力,拓广知识以及提高教学质量都具有重要意义。
一、教学中数学命题的推广方法
所谓命题的推广,,,是2知命题的结论的进一步延伸,在数学中开展数学命题的推广,应该引导学生从多角度、多方位、多层次的方向出发,对命题进行演变、引伸、拓广,建立全方位、立体化的认识-加强知识间的联系,又注重他们的区别,既要把握矛盾的共性,、从具体到抽象、从特殊到一般的万向创造出新知识、新命题,从而达到预定的教学效果。
1、从命题的项数上推广
可从原命题条件的项数和结论的项数同时增加与单从结论的项数增加两方面考虑。例如:命题1:已知a2+b2=1,求证acosx+bsinx ≤1
证明:∵acosx ≤(a2+cosx)/2, bsinx ≤(b+sin2x)/2。
∴acosx+bsix≤
对命题1,可将茯条件和结论的项数从两项推广到三项,四项……,一般也可以推广到n项。推广的结论还要注意能用公式(
x2+y2)/2≥xy来作证明的依据。
推广1:已知,求证
证明:∵
……
各不等式左端与右端分别相加后,逐步提取公因式,再利用公式,最后可得:
命题2 若a>0,b>0。则,当且仅当a=b时取等号。
可将命题2的结论从两项增加到三项、四项……直到n项,同时其分母和根指数从2变为3、4…直到n。所以得。
推广2若,则,当且仅当时取等号。
证明:用数学归纳法。
当n=2时命题显然成立。
假设当n=k-1时命题成立。
当n=k时,不妨设,显然
,由规归假知:
又
∴,
即)
也就是。
又∵,
∴,于是时取等号。
综上所述,原命题成立。
2、从命题的指数上推广。
把命题的指数由某个数或数集推广到包含这个数工数集的数集上去。如由自然数到自然数集、自然数集到有理数集,实数集等等。
命题3已知且,求证
命题3的结论左端中的指数4可推广到自然集上去。这里把它推广到正实数集上。
推广3,若,则,当具仅当a=b时取等号。
证明:∵(这里不妨设,
又∵
∴(当且令当a=b时取等号)。
3、从放宽命题的条件上推广
此法可从数集上考虑,也可从形内到形外,特殊图形到一般图形上考虑。下面举出两例:命题4已知p为矩形ABCD内任一点,求证:
。
证明:过P作EF⊥AD交AD,BC于E,F。
∵AD//BC,∴EF⊥BC。
可以证明,命题4对矩形上或矩形外的点都成立,因此得到:
推广4,若点P为矩形ABCD所在平面上内任一点,则
证明:(公证P在形外的情况)如图,设P为形外一点,
过P作EF⊥AD分别交AD,BC于E,F。
∵AD//BC,∴EF⊥BC。
命题5:设,且
则。
则将命题5的条件“”放宽到“”得:
推广5,设且,则,
注:推广5可利用适当代换后得出与之等价的命题。事实上,令可得
设县,则。
证明:只需代代换后的不等式成立即可。
∵函数是(0,+00)上的凸函数,又∵,由詹林不等式得:ln,
∴………①
在①式中将换为得………………②
由①②两式得:
经代换后推广5得证。
4、从改变命题的条件上推广。
由推广方法3中命题4的条件:“P是矩形内任一点”改变为“P为空间内任一点”所得的命题仍然成立。故得:
推广6,空间内任一点矩形两双相对顶点的距离的平行和相等。
已知:P为空间内一点(如图),求证:。
证明:过P作它在平面AC上的射影为0。则PO⊥平行AC。
∴,同理,
∴
又由推广4得:
∴
5、从改变命题的结论上推广。
命题6已知是差数列,公差,且,,
求证。
证明:∵
∴左端=)
=
=