文档介绍：Linear Algebra Exordium
线性代数 绪论
这节课我们主要解决以下三个问题:
1、什么是线性代数?
2、为什么要学线性代数?
3、怎么做才能学好线性代数?
一、什么是线性代数?
(一)线性
线性linear,指量与量之间按比例、成直线的关系
线性就是一次,只有数乘和加减
线性就是变量都是一次的,没有变量之间的乘法
一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线,所以把这种函数形象地称为“线性”函数,显然,过原点的直线是最简单的线性函数。
对于线性问题,将含变量的项放在等式的一端,不
含变量的项放在另一端;若不含变量的项为零,则
称为齐次线性问题,否则,称为非齐次线性问题。
非齐次线性
非线性
非齐次线性
齐次线性
非线性
线性代数研究的都是线性问题(加法和数乘)
代数学的英文名称是algebra,是9世纪阿拉伯
数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原
与对消的科学”。什么叫做对消,大家知道的有正
负对消,就是解方程时所谓的移项,所谓还原,就
是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来,还原了
x的本来面目,所以方程是和代数紧密联系的,所
以我们一说到代数,就会联系到解方程。
“代数”这一词在我国出现较晚,在清代时才传
入中国,当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直到1859
年,清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译
成为“代数学”,一直沿用至今。
(二)代数
3、已知一个变化着的圆的直径,试写出它的
面积。
请大家尝试做如下三件事:
1、试用等式一般地表示加法交律
2、试用算式直接表示:5 加上什么数等于3;
实际问题向“表示数的数字”提出了挑战。
要表示任意的数、未知(待求)的数、变化
的数,数字就无能为力了。因为它们只能表示单
个的数、已知的数、固定的数。
于是人们被迫用文字词汇、用问号“?”表示数。
但这样既零乱又难写,于是人们希望用统一
的、简单好写的符号表示这些数。
于是想到字母……
没想到这个小小的无奈之举,竟然是种瓜得豆:
先是须研究代数式(从而导致代数学)
进而有代换、迭代(字母代式),有变化、
联系(函数的研究),
进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化
最后,再拓展字母所代表的事物:
图形、集合、法则……
直到抽象的元素,使数学高速发展。
可见,由小小的“字母代数”这个举措,及由
它的发展形成的“代数思想”,实在是太重要了。
所以说人类记数的高级阶段是用字母表示数。
用文字代表数,即设某量为x这样的做法, 只
是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是“式”
的运算,有“式”参与运算就是代数。
代数是用抽象的字母代替具体的数字进行运算
分析,因此,抽象是代数的特点,学好代数可以发
展抽象化形式化的思想和运用数学符号运算推理的
能力。
历史上《线性代数》的第一个问题是关于解线
性方程组的问题,而线性方程组理论的发展又促成
了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展,
这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最
初的线性方程组问题大都是来源于生活实践,正是
实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的
要求也促使了《线性代数》的进一步发展。
(一)线性方程组:
求解线性方程组是数学问题中最重要的问题,
超过75 %的科学研究和工程应用中的数学问题,在
某个阶段都涉及线性方程组的求解。
早在公元2世纪之前,我国的《九章算术》一
书中就有介绍线性方程组的章节“方程章”。书中的
方程组是用算筹布列的,可以看作最古老的矩阵。
书中的解法与现在的加减消元法相仿。这是人类历
史上最早出现的线性方程组。
二、为什么要学线性代数: