文档介绍：线性代数
课件制作王远清朱细华
主编王远清
第一章行列式
第二节 n 阶行列式的定义
第三节行列式的性质
第四节行列式按行(列)展开
第五节克莱姆法则
第一节排列及其逆序数
第一节排列及其逆序数
一、排列与逆序的概念
:
由1,2, …,n 这 n 个数组成的一个有序数组
的 n 阶排列共有
其中排列1,2, …,n 称为标准排列.
个.
问:现在给
四个数字,能够组成多少个
没有重复数字的四位数?
个, 4231就是
一个,且是一个排列,称为标准排列.
一般定义:
称为一个 n 阶排列,记为
:
逆序:
在一个
阶排列中,当某二个数,较大的排在
较小的前面,则称这两个数有一个逆序.
逆序数:
这个
阶排列中所有逆序的总数称为该排列的
逆序数.
排列
的逆序数记为
偶排列:
当逆序数为偶数时,称这个排列为偶排列.
当逆序数为奇数时,称这个排列为奇排列.
奇排列:
若
的前面有
个比它大的数,就说
的逆序数
. 则排列
的逆序数为:
例1
, 是奇排列;
, 是偶排列;
问:
是偶排列. 标准排列的逆序数为0.
是
二、对换及性质
对换
在排列中, 对调任意两个元素, 其余元素位置不变,
而得到新排列的做法叫做对换,相邻两个元素的
对换,叫做相邻对换.
现看
为偶排列
为奇排列
性质1
一个排列中,任意对换两数,则排列改变奇偶性.
证(见书略)
性质2
偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,
奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.
例如
证(可略) 因为标准排列的逆序数为0,是偶数,,奇偶性改变一次,从而偶排列变为偶排列,其对换次数应为偶数,奇排列变为偶排列,其对换次数为奇数.
第二节 n 阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式
1、二阶行列式
用消元法解二元一次方程组
为消去未知数
,以第一个方程乘以
减去第二个
方程乘以
,得
类似地可消去
,得
(1)
当
时,求得
(2)
为了便于记忆,引入下面定义.
由四个数
成二行二列(横排为行,竖排为列) 的数表
排
所确定的表达式
称为二阶行列式,记为
(3)
其中数
称为行列式(3)的元素,第一个
下标
称为行标, 第二个下标
称为列标, 数
表示是位于行列式的第
,第
列的元素.
至
的实联线称为主对角线,
至
虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对
乘积, 这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.
角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的
例1
计算二阶行列式
行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即
利用
若记
则(2)式, 即方程组(1)的解可写成
注意, 这里的分母
按原次序排列而成的二阶行列式,
是方程组(1)中的未知数的系数
是用常数项
替换
中
的相应系数
而得到的二阶行列式,
是用常数项
替换
中
的相应系数
而得到的二阶行列式.
例2
解二元一次方程组
解
由于