文档介绍：第一章行列式
第一节排列及其逆序数
引言
排列与逆序数
一、引言
我们在中学曾经学****过求解二元一次线性方程组
(1)
当两个方程的未知数系数不成比例,即
时,
我们有
(2)
为方便记忆,我们引入二阶行列式
(3)
则(2)可以表示为
(4)
即当(1)的系数行列式
时,
(1)的解可以
用二阶行列式表示为(4)。
用高斯消元法,对三元一次线性方程组
(5)
我们也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式
(6)
则当(5)的系数行列式
(7)
时,方程组(5)的解可以用三阶行列式表示为
(8)
对于n元一次方程组,是否也有类似于上述(4)、
(8)的结果呢?这就是本章要回答的问题。为解决
这一问题,我们要引入n阶行列式的概念。作为定义n
阶行列式的预备知识,下面我们将简单介绍排列的逆
序数的概念。
二、排列与逆序数
1、排列与逆序数的定义
把n个不同元素排成一列,称为一个全排列或简
称排列(permutation)。用Pn表示n个元素所成全
排列的个数,则Pn=n!。这门课程中我们关心的主
要是一个全排列里面元素的排列次序。在这n!个不
同的全排列中,我们规定某一个排列的次序为标准顺序。对自然数,我们规定从小到大的排列顺序为标准顺序。
定义1 在一个排列中,当其中某两个元素的次
序与标准顺序中这两个元素的次序不一致时,我们
称这两个元素产生了一个逆序(an inverse-order)。
一个排列中所有的逆序数的总数称为这个排列的逆
序数(number of the inverse-orders)。
例如,排列1234的顺序为标准顺序,其逆序数为
0。在排列1324中,元素3和2的次序与它们在标准顺
序中的次序不同(标准顺序中应该是2排在3的前面,
因为2比3小),因此这两个元素产生了一个逆序,而其它任意两个元素的排列次序都与其在标准顺序中的次序一样,因此排列1324的逆序数为1。
实际上,根据逆序数的定义,我们可以得到逆
序数的计算方法如下:
设有n个自然数,
为这n个数的一个排
列。则对每个
, 如果比
大且排在
前面的元素个
数为
,就称
在这个排列中的逆序数为
,而
就是这个排列的逆序数。
例1 求排列4321576的逆序数。
解 4前面没有数,因此
3前面有1个数(即数字4)比它大,因此
2前面有2个数比它大,因此
1前面有3个数比它大,因此
5前面没有数比它大,因此
7前面没有数字比它大,因此
6前面有1个数比它大,因此
因此,这个排列的逆序数为: