线性代数1-3 PPT课件.ppt

文档介绍：第一章行列式
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数
§3 n阶行列式的定义
§4 对换
§5 行列式的性质
§6 行列式按行(列)展开
§7 克拉默法则
§6 行列式按行(列)展开
一、余子式和代数余子式
在n阶行列式中,把(i,j)元所在的第i行和第j列划掉,其余的元素按原
来的相对位置排列,所形成新的n-1阶行列式叫做的(i,j)元
就叫做相应的代数余子式.
例如,对于4阶行列式
的(3,2)元
的余子式为
代数余子式为
,是一个数值;
记作
的余子式,
而余子式再赋予如下符号后的式子(仍是一个数值)
二、引理
在n阶行列式D中,如果其第i行除(i,j)元以外,其余的元素均为零,则该行
列式等于这个(i,j)
是分块下三角行列式,于是
(2)再证一般情形,通过行的交换、列的交换转化为上述特殊情形.
证明:(1)先证i=j=1的情形,此时
依次换行i-1次得到:
再依次换列j-1次得到:
右端行列式是一个分块下三角行列式,于是
证毕.
注该引理在行列式计算中的意义在于:这类特殊行列式可以降一阶处理;
该引理在理论上的意义在于:可以引导出行列式按行(列)展开的性质.
定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘
积之和. 该性质称为行列式按行(列)展开法则. 即
证明:
三、行列式按行(列)展开
按第i行展开:
按第j列展开:
再根据引理,即有:
类似地,按列可以证明:
证毕.
注:利用这一法则并结合行列式的性质,可以简化行列式的计算.
()
解:
()求解
解:保留
,利用性质6,把D的第3行其余元素均化为零,再按第3行展开:
()
解: