文档介绍：第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义,让我们来分析前面所
讲的三阶行列式的定义。在§1中的(6)我们定义
对行列式中元素,第一个下标i表示元素所在
的行,称为行标;第二个下标j表示元素所在的列,
称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下
特点:
(1)表达式共有3!=6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积;
(2)6项中有3项的代数符号为正,3项的代数符
号为负;
(3)如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排
列,则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以
及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能
的排列。
(4)排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2,
而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项
求和中,取行标为标准顺序的排列时,其列标排列为
偶排列时,则该项的代数符号为正;当列标排列为奇
排列时,则该项的代数符号为负。
因此,我们可以把三阶行列式的定义写成
其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列,t是这
个排列的逆序数,共有3!=6项求和。其中求和符号
Σ表示连加。
完全类似,我们可以定义n阶行列式。
定义1 设有个数,排成n行n列的数表
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以
符号, 得到形如
(1)
的项,其中为自然数1,2,……,n的
一个全排列,t为这个排列的逆序数。由于这样的排
列共有n! 个, 因此形如(1)式的项共有n!项。所有
这n!项的代数和
称为n阶行列式(determinant),记为
或者简记作Δ( )或者det( )。
数称为行列式Δ
( )的元素。
显然,按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
式与我们前面所说的定义是一致的。
以后为方便起见,我们称行列式中
为行列式的主对角线,
而称的线段为行列式的次对角线或副对
角线。
例1 证明主对角行列式(其中对角线上的元素为
其余的元素为0)的值为
次对角行列式(其中对角线上的元素为
,其余的元素为0)的值为
证:第一式是显然的。下面我们只证明第二个结
果。
根据行列式的定义
其中t为n(n-1)……21的逆序数,因此由第一节的例2
可知t=n(n-1)/2。
例2 证明下三角行列式
证: 由于当j > i时,
,因此行列式的求和
表达式中可能不为0的项的n个因子的下标
应有
即
而在所有排列中,
能满足上述关系的排列只有一个,即1,2……n,所以
行列式中可能不为0的项只有一项,即,
这一项的符号显然为正(因为t=0),所以