§4.4线性代数 PPT课件.ppt

文档介绍：§ 线性方程组解的结构
设线性方程组
若记
则上述方程组可写成向量方程
Ax = b.
当b=0时, 称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
(1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n.
(2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)<n时有无穷多解;
本节将最终解决线性方程组的解的理论问题.
前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并得出了两个重要结论:
若x1=11, x2=21, ···, xn=n1为方程组Ax = b的解, 则
称为方程组Ax = b的解向量.
一、齐次线性方程组解的性质
(1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是Ax = 0的解.
证明: 因为 A1 = 0, A2 = 0,
所以
A(1 + 2) = A1 + A2 = 0,
故 x =1 + 2也是Ax = 0的解.
(2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是
Ax = 0的解.
证明: 因为 A1 = 0,
所以
A(k1) = kA1 = k 0 = 0,
故 x = k1也是Ax = 0的解.
把方程组Ax = 0的全体解向量所组成的集合记为S.
二、基础解系及其求法
1. 基础解系的定义
称向量组1, 2, ···, t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果
(1) 1, 2, ···, t 是Ax = 0的一组线性无关的解;
(2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, ···, t 线性表出.
如果向量组1, 2, ···, t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为:
x = k11 + k22 + ··· + ktt
其中k1, k2, ···, kt为任意常数.
注:方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的.
2. 线性方程组基础解系的求法
设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关, 于是A可化为:
则, Ax = 0 
(1)
现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量):
分别代入方程组(1)依次得:
从而求得原方程组的 n–r个解:
···,
下面证明: 1, 2, ···, n-r 是齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系.
(1) 证明: 1, 2, ···, n-r 线性无关.
由于n–r 个 n–r 维向量
线性无关.
所以 n–r 个 n 维向量1, 2, ···, n-r 亦线性无关.
(2) 证明Ax = 0的解空间的任一解, 都可由1, 2, ···, n-r 线性表示.
设 x = = (1, ···, r , r+1, ···, n)T为方程组 Ax = 0 的一个解.
作1, 2, ···, n-r 的线性组合
=r+11 + r+12 + ··· +nn-r ,
则也为方程组 Ax = 0 的一个解.
=
+ ··· +
且
又由于与都是方程组Ax=0的解. 而Ax=0又等价于方程组
所以与都是方程组(1)的解.
于是, 由
得1=c1, 2=c2, ···, r=cr .
故= .
(1)
=r+11 + r+12 + ··· +nn-r .
所以, 1, 2, ···, n-r 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系.
即
定理7:设m n矩阵的秩R(A)=r, 则n元齐次线性方程组 Amnx = 0 的解集S的秩为 n–r.
当R(A)=n时, 方程组Ax = 0只有零解, 故没有基础解系(此时解集空间只含一个零向量, 为0维向量空间).
当R(A)=r < n时, 方程组Ax=0必有含n–r个向量的基础解系1, 2, ···, n-r . 此时的任意解可表示为:
x = k11 + k22 + ··· + kn-rn-r
其中k1, k2, ···, kn-r为任意常数.
解集S可表示为:
S={ x=k11+k22+···+kn-rn-r | k1, k2, ···, kn-rR }.