文档介绍：其中
设
§ 线性变换的矩阵表示
一、线性变换的矩阵表示式
定义Rn上的线性变换: T(x)=Ax, xRn.
对单位坐标向量组:e1, e2, ···,en, 有
··· ··· ··· ··· ··· ···
i = Aei = T(ei) ( i = 1, 2, ···, n),
即
因此, 如果一个线性变换T有关系式T(x)=Ax, 那么,矩阵A应以T(ei)为列向量.
反之, 如果一个线性变换T使T(ei)=i ( i = 1, 2, ···, n), 那么, 对任意的x=(x1, x2, ···, xn)TRn,
= T[(e1, e2, ···,en)x]
= T(x1e1+x2e2+···+xnen)
= x1T(e1)+x2T(e2)+ ··· +xnT(en)
= (T(e1), T(e2), ···, T(en))x
= (1, 2, ···, n)x
T(x)
= Ax.
综上所述, 可知
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
e1, e2, ···,en为单位坐标向量组.
二、线性变换在给定基下的矩阵
定义: 设T是线性空间Vn中的线性变换, 在Vn中取定一个基1, 2, ···, n, 如果这个基在变换T下的象为
其中
T(1, 2, ···, n)=(T(1), T(2), ···, T(n)),
则上式可表示为
记
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
显然, 矩阵A由基1, 2, ···, n的象T(1), T(2), ···, T(n)唯一确定.
现在, 假设A是线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵, 也就是说, 基1, 2, ···, n在变换T下的象为:
T(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)A
那么, 变换T需要满足什么条件呢?
对任意的Vn, 设
则有
即
上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换.
反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定.
结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T.
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一对应的.
从关系式
可知:
在基1, 2, ···, n下, 的坐标为
T()的坐标为
因此, 按坐标表示有: T() = A.
例1: 在P[x]3中, 取基:
求微分变换(运算)D的矩阵.
p1=x3, p2=x2, p3=x, p1=1,
解:
所以, D在这组基下的矩阵为:
例2: 实数域R上所有一元多项式的集合记作R[x], R[x]中次数小于n的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作R[x]n, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R上的一个线性空间.
在线性空间R[x]n中, 定义变换:
则由导数性质可以证明: 是R[x]n上的一个线性变换, 这个变换也称为微分变换.
现取R[x]n的基为1, x, x2, ···, xn-1, 则有
(1)=0, (x)=1, (x2)=2x, ···, (xn-1)=(n-1)xn-2,
因此, 在基1, x, x2, ···, xn-1下的矩阵为:
例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性变换, 即
(1) 取基为求T的矩阵.
(2) 取基为
求T的矩阵.
其中
解(1):
即