线性代数§4.6 PPT课件.ppt

文档介绍：§ 向量空间的线性变换
线性变换是线性空间中向量之间最重要的联系。这节介绍线性变换的基本概念、基本性质,线性空间向量的坐标表示,它是抽象向量具体化、数字化的结果。我们通过对具体数组的讨论,获得抽象向量的具体性质。本节也通过坐标建立抽象变换的具体形式或数字形式——线性变换的矩阵表示,从而将抽象问题进行具体处理,这是我们的目的。
为了建立线性变换的概念,我们先复述映射的概念:
若既是单变换,又是满变换,就称为一一变换。
设X, ()=, 就说把元素变为, 称为在变换下的象, 称为在下的原象
若是从集合X到X的映射,则称为X上的变换.
一、线性变换的概念
1. 映射
定义1: 设有两个非空集合Y, X, 如果对于X中任一元素, 按照一定规则, 总有Y中一个确定的元素和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合X到集合Y的映射, 记作= () 或记作:(X).
若都有就称为单变换;
若都有使就称为满变换;
2. 线性变换的定义
定义2: 设V是实数域R上的线性空间, 是V的一个变换, 如果变换满足:
(1) 任给1, 2V , 都有
(1+2)= (1)+ (2);
(2) 任给V , kR, 都有(k)= k ().
则称为V的一个线性变换.
说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算)的对应关系的变换.
我们引入线性变换的概念及其简单性质:
我们知道,一元函数中的线性函数
是R上的变换,且是一一变换,具有如下性质:
即
故是R上的线性变换。
又如:设,若对每一个列向量,
, 是上的线性变换,且满足:
即
故是上的线性变换。
例1: 在线性空间P[x]4中.
(1) 求导运算D是一个到其自身的线性变换.
事实上, 对任意的
p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]n,
则 Dp=3a3x2+2a2x+a1, Dq=3b3x2+2b2x+b1,
从而
D(p+q)=D((a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a3+b3))
=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1)
=(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1)
=Dp+Dq.
=D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0, )
=3ka3x2+2ka2x+ka1
=k(3a3x2+2a2x+a1)
=kDp
D(kp)
(2) 如果T(a3x3+a2x2+a1x+a0)=a0, 则T也是P[x]3上的一个线性变换.
事实上, 对任意的
p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]3,
T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q),
T(kp)=ka0=kT(p).
(3) 如果T1(a3x3+a2x2+a1x+a0)=1, 则T1是P[x]3上的一个变换, 但不是线性变换.
由于T1(p+q)=1,
但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以 T1(p+q)T1(p)+T1(q).
例2: 线性空间V中的零变换O: O()=0是线性变换.
证明: 设, V,
则有
所以, 零变换O是线性变换.
O(+) = 0
O(k) = 0
=O()+O(),
= 0 + 0
= kO().
= k0
注意: 零变换中对应的元素必须是空间的零元0.
例3: 由关系式
确定xoy平面上的一个线性变换, 说明T的几何意义.
解: 先证明变换T是线性变换.
设
则 T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2),
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
于是
记
例4 区间I上的不定积分是I上的线性变换:
由
例5: 定义在闭区间[a, b]上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间C[a, b], 在这个空间中变换
是一个线性变换.
证明: 设 f(x), g(x)C[a, b],
则有
T(f(x)+g(x))
= T(f(x))+T(g(x)),
故命题得证.
T(k f(x))
= kT(f(x))