文档介绍：高数期末总结高等数学期末总结 ) 利用极限的四则运算法则2利用极限存在准则3利用关于无穷小量的定理4利用极限存在的充要条件 f?x0?0??f?x0?0? 5利用等价无穷小代换定理6利用函数的连续性7利用恒等变形8利用两个重要极限及一些常用的极限 1 sinxtanx?1?lim?1,lim?1②lim1?x?x?e1???e或lim??x?0x?0x??x?0xx?x? x ①③?an ?b,m anxn?an?1xn?1???a0??lim??0,m?1x??bxm?bx???bmm?10??, ??? 当m?n当m?n当m?n ④ ln?1?x?1?cosx1 ?li?1⑤li2x?0x?0x2x 2)利用洛比达法则求极限①在极限式子中,如果出现非零的极限因子,则用极限的乘法把它分离出去,然后使用洛比达法则,可使计算变得简单. ②在"3) "未定型中,如果能用简单的等价无穷小替换,则先替换,然后应用洛比达法则, 利用导数定义凡已知函数可导或在某一点可导求此式极限时,一般考虑用导数的定义,如已知 f?x?在x0处可导,则此式的极限 f'?x0??lim ?x?0 f?x0??x??f?x0?f?x??f?x0? ?,注意自变量的改x?x0?xx?x0 变量?x的表达式多样性即可. 11?sinx1?0x?xsinxlim?lim??1 x??x??1?0x?x1? 2 sinxln1sinx? x?0xx?0xx2 ?lim x?02x ?sinx ?1,故非零因子的极限可以提前拿到极限号外面去,这是个重要的简化技巧)?lim 1?lim2x?0 3sinx?x2cos x 1 ?1?lim3sinx?limxcos1??3 x?02?x??x?0x?2 ?lim????1???. 2x?0?xx2?2?2?4 ? lim?2sin2x?cos2x? x?0 lim[?1?sin2x? x?0 sin2x1 xsin2x ]?e . 2x22x2x2x ?2?x???,故原式=lim~:由于sin2222x??x??1?x1?x1?x1?x ?(cosx)?(cosx) esinxesinx???ecosx?lim?e?:原式?lim=lim x?0x?0x?0x?0ln1?xln(1?x)xln(1?t)dt? 1 edt ?t2 ?cos2x ? 22 limf(x)存在,且f(x)?x3?2x?4limf(x),求f(x) x?1 x?1 解:两边求极限可得 limf(x)?limx3?lim2x?4limf(x),则可得limf(x)??1,故f?x??x3?2x?4. x?1 x?1 x?1 x?1 x?1 x2?ax?3 ?b,求a, x?1x?1 2 解:?C(C为常数,也可以为0) x?x0 x?x0 2 x?4x?3(x?3)(x?1)2 由题意知,lim(x?ax?3)?0,则a?4;故lim?lim?lim(x?3)??2?b x?1x?1x?1x?1x?1x?1例10 .lim x?1 ?x2?x? 2 ??lim 2 . x?1x?2解:lim x?1 ?2?1?x?1 ??1x?2x?1?x??xx?x?2 12 ??. 63?x??x lim( n?? 12n 由于????)解: 222n?n?1n?n?2n?n?n 1?2???n12n1?2???n ,??????22222 n?n?nn?n?1n?n?2n?n?nn?n?1 11 n(n?1)n(n?1)111?2???n11?2???n而lim,lim,由夹逼定理知,原式=.?lim??lim?22n??n2?n?nn??n2?n?nn??n??2n?n?1n?n?122 f2(a?2h)?f2(a?h) f(a)?2,f'(a)?3,求lim h?0h 解:原式 f(a?2h)?f(a?h) h?0h f(a?2h)?f(a)f(a?h)?f(a) ?2f(a)lim[2?] h?02h?h ?6f(a)f'(a)?36?lim[f(a?2h)?f(a?h)] ?1x2 ?3?0sintdt,x?0f(x)??x在x?0处连续,求a的值. ?,x?0?a x0 ?解:由于f(x)在x?0处连续,则a?limf?x??lim x?0 x?0 sint2dtx3 sinx21 ?.?lim x?03x23 例14 .若?a?1) ,x?0? x? f(x)??1,x?0在x?0处连续,求a