“三线合一”证题.doc

文档介绍：等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用,供参考。“三线合一”,如图1,AD是的角平分线,DE、DF分别是和的高。求证:AD垂直平分EF分析:从本题的条件和图形特征看,欲证AD垂直平分EF,因为有,所以只要证为等腰三角形即可证明:,中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于点K,求证:分析:可考虑作DE//CK交AB于E,因为M是AD的中点,所以K是AE的中点,只要证E是BK的中点,问题可得到解决。由于有,,所以就想到用“三线合一”。证明:过点D作DE//,再用“三线合一”,在中,,,D是BC的中点,P为BC上任一点,作,,垂足分别为E、F求证:(1)DE=DF;(2)分析:(1)欲证二线段相等,容易想到利用全等三角形。观察DE为或的一边,DF为或的边,但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点,于是我们想到连结AD一试,这时容易发现或问题得证。(2)欲证,只要证,即可但由(1)已证出又,故问题解决证明:连结AD。D是BC的中点,DA平分,四边形PEAF是矩形又又(2),再用“三线合一”,已知四边形ABCD中,,M、N分别为AB、CD的中点,求证:分析:由于MN与CD同在中,又N为CD的中点,于是就想到证为等腰三角形,由于MD、MC为、斜边AB上的中线,因此,所以,问题容易解决。证明:连结DM、CM,M是AB的中点是等腰三角形又N是CD的中点,,中,BC、CF分别平分和,于E,于F,求证:EF//BC分析:由BE平分、容易想到:延长AE交BC于M,可得等腰,E为AM的中点;同理可得等腰,F是AN的中点,故EF为的中位线,命题就能得证。证明:延长AE、AF分别交BC于M、N,为等腰三角形即,同理为的中位线一、证明角相等图121EDCBA【例1】已知:如图1,在中,,:.【分析】作出等腰的顶角平分线将顶角分为相等的两部分,根据“三线合一”的性质证得等于其中任一部分即可.【证明】作的平分线AE,则有.∵,,∴(三线合一).∴.又∵,∴.∴.∴.【点拨】添加辅助线,利用等腰三角形的“三线合一”性质,巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形,将已知条件与待证结论有机地联系在一起,、证明线段相等【例2】(2009·汕头)如图2,是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使,过点D作,:图2ECAMDB【分析】在中,.如果能证得,由“三线合一”就可得出.【证明】∵是等边三角形,D是的AC中点,∴,BD平分(三线合一).∴.又∵,∴.又∵,∴.∴.∴.又∵,∴(三线合一).【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题,也可以用全等三角形来解决,但利用“三线合一”,我们在解决这类问题时,要纠正总是依据三角形全等的思维定势,应该优先选用“三线合一”、证明直线垂直【例3】(2009·义乌)如图3,在正△ABC中,于点D,以AD为一边向右作正△、DE的位置关系,