文档介绍：标有多个角度的极坐标网格.
在数学中, 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛,包括数学、物理、工程、航海(en:Navigation)以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时,极坐标系便显得尤为有用;而在平面直角坐标系中,这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线,极坐标方程是最简单的表达形式,甚至对于某些曲线来说,只有极坐标方程能够表示。
在极坐标系中表示点
点(3,60°) 和点(4,210°)
正如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴:r (半径坐标) 和θ(角坐标、极角或方位角,有时也表示为φ或t)。r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0
°射线(有时也称作极轴)的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的X轴正方向。[6]
比如,极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° − 180° = 60°)。
极坐标系中一个重要的特性是,平面直角坐标中的任意一点,可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说,点(r, θ)可以任意表示为(r, θ± n×360°)或(−r, θ± (2n + 1)180°),这里n是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0,那么无论θ取何值,该点的位置都落在了极点上。
使用弧度单位
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度,使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式,基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量,而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算,所以物理方面更倾向使用弧度。[8]
在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换
极坐标系中的两个坐标 r 和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值
由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标
[9]在 x = 0的情况下:若 y 为正数θ= 90° (π/2 radians); 若 y 为负, 则θ= 270° (3π/2 radians).
极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常表示为r为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称en:Symmetry形式,如果r(−θ) = r(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果r(π−θ) = r(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果r(θ−α) = r(θ),则曲线相当于从极点逆时针(en:counterclockwise)旋转(en:Rotational symmetry)α°。[9]
圆
A circle with equation r(θ) = 1.
在极坐标系中,圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为
该方程可简化为不同的方法,以符合不同的特定情况,比如方程
表示一个以极点为中心半径为a的圆。[10]
直线
经过极点的射线由如下方程表示
,
其中φ为射线的倾斜角度,若 m为直角坐标