文档介绍：第五章平面向量
【考纲说明】
1、理解平面向量的概念和几何表示,理解两个向量相等及共线的含义,掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义,会用坐标表示。
2、了解平面向量的基本定理,掌握平面向量的坐标运算。
3、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。
【知识梳理】
一、向量的基本概念与线性运算
1 向量的概念:
(1)向量:既有大小又有方向的量,记作;向量的大小即向量的模(长度),记作|| 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
(2)零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行
(3)单位向量:模为1个单位长度的向量常用e表示.
(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,记作∥平行向量也称为共线向量
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为大小相等,方向相同
(6)相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量
记作,零向量的相反向量仍是零向量
若、是互为相反向量,则=,=,+=
2 向量的线性运算:
(1)向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”.
(2)向量的减法:求向量加上的相反向量的运算叫做与的差.
向量的减法有三角形法则,可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
(3)向量的数乘运算:求实数λ与向量的积的运算,记作λ.
①;
②当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反; 当时,,方向是任意的
③数乘向量满足交换律、结合律与分配律
3. 两个向量共线定理:
向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
向量与非零向量共线有两个均不是零的实数、,使得.
二、平面向量的基本定理与坐标表示
1 平面向量的基本定理:
如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
2. 平面向量的坐标表示:
(1)在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中x叫作在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标显然=(0,0),,.
(2)(x,y)就是终点A的坐标,即若=(x,y),则A点的坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).
3 平面向量的坐标运算:
(1)若,则.
(2)若,则,
.
(3)若=(x,y),则=(x, y).
(4)若,则.
(5)若,则.
三、平面向量的数量积
1 两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,·等于的长度与在方向上的投影的乘积叫做与的数量积(或内积),即·=︱︱·︱︱cos,规定
2 向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3 向量的模与平方的关系:
4 乘法公式成立:
;
.
5 平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:.
②对实数的结合律成立:.
③分配律成立:;
特别注意:①结合律不成立:.
②消去律不成立不能得到.
③=0不能得到=或=
6 两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量,则·=
7 向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
8 垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥
⊥·=O
【经典例题】
【例1】(2010全分∠ACB,若,
,,则= ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B.
【解析】由角平分线的性质得,.
【例2】(2009北京,2)已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,
那么( )

【答案】D.
【解析】取a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
【例3】(2009湖南卷文)如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】得.
或.
【例4】(2009宁夏海南卷文)已