文档介绍：学科:数学
教学内容:参数方程、极坐标
一、考纲要求
,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,,依据条件建立参数方程.
,会根据所给条件建立直线、.
二、知识结构
(1)标准式过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
(t为参数)
(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是
(t不参数) ②
在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a2+b2=1,②即为标准式,此时, | t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是
|t|.
直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
(t为参数)
若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα);
(2)|P1P2|=|t1-t2|;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则
t=
中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=||
(4)若P0为线段P1P2的中点,则
t1+t2=0.
(1)圆圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是
(是参数)
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,∈[0,2π](见图)
(2)椭圆椭圆=1(a>b>0)的参数方程是
(为参数)
椭圆=1(a>b>0)的参数方程是
(为参数)
极坐标系在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解: 将圆的方程化为参数方程:
(θ为参数)
则圆上点P坐标为(2+5cosθ,1+5sinθ),它到所给直线的距离为d==|4cosθ+3sinθ+6|=5·|(cosθ+sinθ)+| =5|cos(φ-θ)+ |,其中cosφ=,sinφ= .故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1