西南交大矩阵分析.ppt

文档介绍：第三章内积空间,正规矩阵与H-阵
定义: 设是实数域上的维线性空间,对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为与
的内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件:
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这里是中任意向量, 为任意实数
,只有当时,我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。
例 1 在中,对于
规定
容易验证是上的一个内积,从而成为一个欧氏空间。如果规定
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容易验证也是上的一个内积
,这样又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在维线性空间中,规定
容易验证这是上的一个内积,这样对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间中,规定
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容易验证是上的一个内积,这样对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义: 设是复数域上的维线性空间,对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为与
的内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件:
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这里是中任意向量, 为任意复数
,只有当时,我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设是维复向量空间,任取
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规定
容易验证是上的一个内积,从而成为一个酉空间。
例 2 设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间,定义
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容易验证是上的一个内积,于是便成为一个酉空间。
例 3 在维线性空间中,规定
其中表示中所有元素取共轭复数后再转置,容易验证是上的一个内积,从而连同这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质:
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欧氏空间的性质:
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酉空间的性质:
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定义:设是维酉空间, 为其一组基底,对于中的任意两个向量
那么与的内积
令
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