文档介绍：线性代数知识点总结
行列式
第一节:二阶与三阶行列式
把表达式称为所确定的二阶行列式,并记作,
即结果为一个数。(课本P1)
同理,把表达式称为由数表所确定的三阶行列式,记作。
即=
二三阶行列式的计算:对角线法则(课本P2,P3)
注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组:
对二元方程组
设
则,(课本P2)
对三元方程组,
设,
,,,
则,,。(课本上没有)
注意:以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节:全排列及其逆序数
全排列:把个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(或排列)。
n个不同的元素的所有排列的总数,通常用Pn (或An)表示。(课本P5)
逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5)
计算排列逆序数的方法:
方法一:分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。(课本上没有)
第三节:n阶行列式的定义
定义:n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
的代数和,其中p1 p2 … pn是1, 2, …,n的一个排列,每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为,其中为行列式D的(i,j元)。(课本P6)
根据定义,有
说明:
1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;
2、n阶行列式是项的代数和;
3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;
4、的符号为,t的符号等于排列的逆序数
5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆。
推论1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。
即
推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。
即,(上述二推论证明课本P7例6)
第四节:对换
定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调,叫做相邻对换。(课本P8)
定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。(上述二定理证明课本P8)
定理2 n阶行列式的项可以写为,其中q1q2…qn是行标排列,p1p2 …pn是列标排列。(证明课本P9)
推论 设有n阶行列式,则或或(行列式三种不同表示方法)
推论 在全部阶排列中,奇偶排列各占一半。
证明设在全部阶排列中有个奇排列,个偶排列,现来证。
将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同
,所以。
若将t个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列,全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有。综上有s=t。
第五节:行列式的性质
定义 记,,行列式称为行列式的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。(证明课本P9)
说明行列式中行与列具有同等地位,因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。
性质2 互换行列式的两行或列,行列式变号。(证明课本P10)
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式;
推论1 的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到的外面;
推论2 中某一行(列)所有元素为零,则。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.(证明课本P10)
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。(课本P11)
计算行列式常用方法:①利用定义;②利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。
说明 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。
第六节 行列式按行(列)展开
余子式 在阶行列式中,把元素所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作。
代数余子式 ,叫做元素的代数余子式。(课本P16)
引理 一个阶行列式,如果其中第行所有元素除(i,j)元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即。(证明课本P16)
定理