文档介绍：抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义:
对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
分段函数的周期:设是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:
。把个单位即按向量在其他周期的图像:。
2、奇偶函数:
设
①若
②若。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性:
(1)中心对称即点对称:
①点
②
③
④
⑤
(2)轴对称:对称轴方程为:。
①关于直线
②函数关于直线
成轴对称。
③关于直线
成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数图象本身的对称性(自身对称)
若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。
1、图象关于直线对称
推论1: 的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、偶函数与图象关于Y轴对称
2、奇函数与图象关于原点对称函数
3、函数与图象关于X轴对称
4、互为反函数与函数图象关于直线对称

推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称

(三)抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1 若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x)
性质2 若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x)
易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。
定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是f[-g(x)]=-f[g(x)]。
(2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)