文档介绍：函数的对称性新余四中燕芳函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,∴2b-y=f(2a-x)即y+f(2a-x)=2b故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a-x)=2b∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0)。故点P‘(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P‘关于点A(a,b)对称,充分性得征。推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)==f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)(证明留给读者)推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)结论3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。①②的证明留给读者,以下给出③的证明:∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称,∴f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称,∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得:f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**),用2(a-b)-x代x得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。结论5.①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为P‘(x1,y1),则x1=a+y0,y1=x0-a,∴x0=a+y1,y0=x1-a代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1)∴点P‘(x1,y1)在