文档介绍：2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,.
函数的最小正周期为.
解析:
设(i为虚数单位),则复数的模为.
解析:
双曲线的两条渐近线的方程为.
解析:
Y
N
输出n
开始
结束
(第5题)
集合共有个子集.
解析:(个)
右图是一个算法的流程图,则输出的的值是( )
解析:经过了两次循环,n值变为3
抽样统计甲,乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.
解析:易知均值都是90,乙方差较小,
现有某类病毒记作,其中正整数可以任意选取,则都取到奇数的概率为.
解析:可以取的值有:共个
可以取的值有:共个
所以总共有种可能
符合题意的可以取共个
符合题意的可以取共个
所以总共有种可能符合题意
所以符合题意的概率为
如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则.
解析:
所以
抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是.
解析:易知切线方程为:
所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为
易知过C点时有最小值,
设分别是的边上的点,,,若(为实数),则的值为.
解析:
易知
所以
,,则不等式的解集用区间表示为.
解析:因为是定义在上的奇函数,所以易知时,
解不等式得到的解集用区间表示为
在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,,则椭圆的离心率为.
解析:由题意知
所以有两边平方得到,即
两边同除以得到,解得,即
平面直角坐标系中,设定点,是函数图像上一动点,若点之间最短距离为,则满足条件的实数的所有值为.
解析:
由题意设则有
令
则,对称轴
,
, (舍去)
,
, (舍去)
综上或
在正项等比数列中,,.则满足的最大正整数的值为.
解析:
又时符合题意,所以的最大值为
二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分14分)
已知,,.
(1) 若,求证:;
(2) 设,若,求,的值.
解:(1)
(2)
得:
又
16. (本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,平面平面,,. 过作,垂足为,点,分别是侧棱,的中点.
求证:(1) 平面平面;
(2) .
解:(1)分别是侧棱的中点
在平面中,在平面外
平面
为中点
在平面中,在平面外
平面
与相交于
在平面中
平面平面
(2) 平面平面
为交线
在中,
平面
与相交于
在平面中
平面
17. (本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,点,,圆心在上.
(1) 若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2) 若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
解:(1)
①与②联立得到圆心坐标
圆方程为
切线斜率不存在时,不合题意
设切线方程为
解得或
切线方程为或
(2)设,则圆方程为
设
由题意
即
存在,圆与圆有交点
即两圆相交或相切
即
18. (本小题满分16分)
如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径. 一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.
现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为50m/min. 在甲出发2min后,乙从乘缆车到,在处停留1min后,再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路长为1260m,经测量,,.
(1) 求索道的长;
(2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3) 为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)
(2)
设乙出发分钟后,甲到了处,乙到了E处
则有
根据余弦定理
即