文档介绍：` 第一章极限和连续
第一节极限
第一章极限和连续
第一节极限
[复****考试要求]
(对极限定义等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
,掌握极限的四则运算法则。
、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。
。
[主要知识内容]
(一)数列的极限
定义按一定顺序排列的无穷多个数
称为无穷数列,简称数列,记作{xn},数列中每一个数称为数列的项, 第n项xn为数列的一般项或通项,例如
(1)1,3,5,…,(2n-1),…(等差数列)
(2)(等比数列)
(3)(递增数列)
(4)1,0,1,0,…,…(震荡数列)
都是数列。它们的一般项分别为
(2n-1),。
对于每一个正整数n,都有一个xn与之对应,所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f(n),它的定义域是全体正整数,当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时,对应的函数值就排列成数列。
在几何上,数列{xn}可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。
定义对于数列{xn},如果当n→∞时,xn无限地趋于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时,数列{xn}以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作
比如:
无限的趋向0
,无限的趋向1
否则,对于数列{xn},如果当n→∞时,xn不是无限地趋于一个确定的常数,称数列{xn}没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。
比如:1,3,5,…,(2n-1),…
1,0,1,0,…
数列极限的几何意义:将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列{xn}以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点xn可以无限靠近点A,即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。
比如:
无限的趋向0
无限的趋向1
(二)数列极限的性质与运算法则
(惟一性)若数列{xn}收敛,则其极限值必定惟一。
(有界性)若数列{xn}收敛,则它必定有界。
注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。比如:
1,0,1,0,…有界:0,1
(两面夹准则)若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件:
(1),
(2), 则
{xn}单调有界,则它必有极限。
。
(1)
(2)
(3)当时,
(三)函数极限的概念
→x0时函数f(x)的极限
(1)当x→x0时f(x)的极限
定义对于函数y=f(x),如果当x无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的极限是A,记作
或f(x)→A(当x→x0时)
例y=f(x)=2x+1
x→1,f(x)→?
x<1x→1
x>1x→1
(2)左极限
当x→x0时f(x)的左极限
定义对于函数y=f(x),如果当x从x0的左边无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的左极限是A,记作
或f(x0-0)=A
(3)右极限
当x→x0时,f(x)的右极限
定义对于函数y=f(x),如果当x从x0的右边无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的右极限是A,记作
或f(x0+0)=A
例子:分段函数
,求,
解:当x从0的左边无限地趋于0时f(x)无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时,f(x)的左极限是1,即有
当x从0的右边无限地趋于0时,f(x)无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时,f(x)的右极限是-1,即有
显然,函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系:
→x0时,函数f(x)的极限等于A的必要充分条件是
反之,如果左、右极限都等于A,则必有。
x→1时f(x)→?
x≠1
x→1f(x)→2
对于函数,当x→1时,f(x)的左极限是2,右极限也是2。
→∞时,函数f(x)的极限
(1)当x→∞时,函数f(x)的极限
y=f(x)x→∞f(x)→?
y=f(x)=1+
x→∞f(x)=1+→1
定义对于函数y=f(x),如果当x→∞时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→∞时,函数f(x)的极限是A,记作
或f(x)→A(当x→∞时)
(2)当x