文档介绍：惯性力·质点的达朗贝尔原理
惯性力的概念
即小车的惯性力大小等于小车的质量与加速度的乘积,方向和加速度的方向相反。
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车,如图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性,这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反作用力F,
由作用和反作用定律,可知
质量为m的小球,在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴O作匀速圆周运动,圆周的半径为R,小球的速度为v,加速度为an,如图所示。由于小球的惯性,小球将给予绳子一个反
作用力F'。
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积,方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积,方向与质点加速度的方向相反。
质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m,在主动力F和约束外力FN的共同作用下,产生的加速度为a,如图所示。根据牛顿第二定律,有
即
上式–ma 即为质点的惯性力,用FI 来表示,于是上式可写为
质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束反力以及假想加在质点上的惯性力,在形式上组成一平衡力系,这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l 的绳上,绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以速度v 做匀速圆周运动时,绳子与铅垂线成θ角。用达朗贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。
解:选小球为研究对象,受力分析如图所示。由达朗贝尔原理,列“静力”平衡方程
解得
由于
解得
【例13-2】如图所示的列车在水平轨道上行驶,车厢内悬挂一单摆,摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时,单摆向左偏转的角度为,求车厢的加速度a。
解:选摆锤为研究对象,受力分析如图所示。由达朗贝尔原理,列x方向的平衡方程
由于
解得
当加速度固定时,单摆偏角也固定不变。因此,只要测得偏转角,就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计的原理。
质点系的达朗贝尔原理
设有n个质点组成的质点系,其中任一个质点i 的质量为mi,加速度为ai,此质点上除了作用有真实的主动力Fi和约束反力FNi外,还假想地在这个质点上增加它的惯性力FIi,由质点的达朗贝尔原理,有
Fi + FNi +FIi=0 (i = 1,2,…,n)
上式表明,质点系运动的每一瞬时,作用于系内每个质点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie和内力Fii,则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1,2,…,n)
这表明,质点系中每个质点上作用真实的外力、内力和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系,由于每一个质点处于平衡,整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡,由静力学中的平衡条件可知,空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零,即
由于质点系的内力总是成对出现的,且等值反向共线,它们相互抵消,这样,上面两式可简化为
上式表明,作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系,这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
【例13-3】如图所示的定滑轮半径为r,质量为m3均匀分布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不打滑,轴承摩擦忽略不计,求重物的加速度。
解:以滑轮和两重物组成的质点系为研究对象,受力分析如图所示。
滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上任一点i 的质量为mi,该质点的惯性力的大小为
列平衡方程
解得
刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系,把实际所受的力系和虚加惯性力系向任意点O简化,所得的主矢和主矩分别记为FR,MO,FIR,MIO,由力系的平衡条件,可得
由质心运动定理FR=maC,有
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度的方向相反。
惯性力系的主矩,一般说来也与简化中心的位置有关。下面对刚体平移,定轴转动、平面运动时惯性力系简化的主矩进行讨论。
刚体做平动
刚体做平动时,刚体的惯性力系构成一组相互平行的力系。任选一点O为简化中心,主矩用MIO表示,有
如果取质心C为力系的简化中心,即rC=0,则惯性力系的主矩恒等于零。因而,刚体平动时惯性力系可以简化为作用在质心上的一个合力FIR。