文档介绍：泰勒公式及其应用[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词]泰勒公式;极限;不等式;敛散性;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从中搜集了大量的****题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以,,则有(1)这里为佩亚诺型余项,称(1)=0时,(1)式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的),则 ,(2)这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)=0时,(2)式变成称此式为(带有拉格朗日余项的):.....(介值定理)设函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,,得,,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,,,,则带入泰勒公式,其中=3,得,,.,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,:直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,,所以,,,(x)在上二阶可导,且,对,证明:在内存在唯一实根. 分析:这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,,所以单调减少,又,因此x>a时,,故f(x),于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性知唯一,(极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(ii)若,,可得f在处