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文档介绍：第八章矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆),更适用于奇异方阵,甚至适用于行列数不相等的长方阵.
广义逆矩阵除了上述理论意义之外,,特别在数值分析中十分有用.
本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆,自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义逆.
线性方程组一般理论复****br/>定理A:线性方程组
Ax=b, n,x,
对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在.
证:必要性令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))
Cnn,其中ei为En的第i列(今后将常用此记号)
则 AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=En
 A-1=X.
充分性若A-1存在,则对任意右端b
Ax=b  x=A-1b
即 x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解.
线性方程组一般理论复****续
定理B:对一般线性方程组
Ax=b, ACrmn,,bCm (1)
①(1)有解的充要条件是bR(A)={Ay|}(R(A)也称为A的值域)
②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank A
(增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等)
③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A) (齐次方程解空间N(A)={|Ax=0}也称为A的核)
④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n
dim N(A)= n-rank A= n-r > 0

定义:若一般线性方程组
Ax=b, ACmn,,bCm (1)
对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵
A-Cnm 称为A的一个减号逆.
nn时,(1)的解都可表示为
x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆:
A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.
减号逆举例
例1: A = C23
有下列两个实质不同的减号逆:
A-= 或
证:易见两种情形都有AA-=E,从而,对任意bC2,
AA-b=b  Ax=b 有解 x=A-bC2
即对任意bR(A)=C2,Ax=b的解都可表示为x=A-b所以,这两个A-都是A的减号逆.
注:此例说明减号逆一般不唯一.
减号逆的充要条件
: m是ACmn的减号逆,当且仅当
AXA=A (2)
证:必要性若X=A-,则对任意bR(A)都有
AXb=b.
令 A=(1,…,n),则 Aei=iR(A),ei=Xi,
AXi=i,i=1,…,n,
因此 AX(1,…,n)=(1,…,n),得证 AXA=A.
充分性若X满足(2)和x为Ax=b的解,则
b=Ax=AXAx=AXb,
因此,Ax=b的解可表为:x=Xb,从而得证X是A的一个减号逆.
推论
推论: ACmn的减号逆A-的秩不小于A的秩:
rank A  rank A-
证:我们知道:-A=A立即推出
rank A  rank A-
下面讨论减号逆的存在性及求减号逆的方法.
先复****用初等变换把任意矩阵等价变换为标准
形及相关变换矩阵的计算问题.
我们知道:用行,列初等变换可以把任意矩阵ACrmn 化为标准形 diag(Er,0).令PCmmm,nn分别表示其中所用行,列初等变换的乘积,则 PAQ=diag(Er,0).
求P,Q的方法示意如下:
①经行变换(A | Em) --
其中BCrrn有r列(常为前r列)可构成Er.
②经列变换--

(A | Er)=
注:求矩阵Q较为容易,先适当交换列顺序把B的前r列变为Er,,Q的非对角元恰好是B的对应元反号.
共有8个任意参数,取全部参数为0得最简单的一个减号逆如下:
A-=Q1P1=