文档介绍：复习:
在证明的过程中,由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,像这样的线叫做辅助线。
辅助线通常画成虚线!
添辅助线构造全等
,在△ABC中,AB=AC,BE=CF.
A
B
D
F
C
E
G
⌒
1
2
3
⌒
⌒
旋转180°构造全等
证明1:过E点作EG∥CF交BC于G
∴∠1=∠F (两直线平行,内错角相等)
∠2=∠3 (两直线平行,同位角相等)
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠3(等边对等角)
∴∠B=∠2(等量代换)
∴BE=EG(等角对等边)
∵BE=CF(已知)
∴EG=CF(等量代换)
在△DEG和△DFC中,
求证:DE=DF.
∠1=∠F(已证)
∠EDG=∠FDC(对顶角相等)
EG=CF(已证)
∴△DEG≌△DFC()
∴DE=DF(全等三角形对应边相等)
,在△ABC中,AB=AC,BE=CF.
求证:DE=DF.
C
2
A
B
D
F
E
H
⌒
⌒
1
证明2:过F点作FH∥BE交BC的延长线于H
例3:已知:如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.
A
B
D
C
1
2
E
求证:AB=AC+CD
沿着某条直线翻折构造全等
证明:在AB上截取AE=AC
∴∠AED=∠C,ED=CD
(全等三角形对应边,对应角相等)
∵∠AED= ∠B+ ∠3
(三角形的外角等于与之不相邻的两内角之和)
在△AED和△ACD中,
∠1=∠2(已知)
AD=AD(公共边)
∴△AED≌△ACD()
∴BE=ED(等角对等边)
AE=AC(已作)
3
又∵∠C=2 ∠B(已知)
∴∠B= ∠3(等式性质)
A
B
D
C
1
2
E
3
∴BE=CD(等量代换)
∵AB=AE+EB(如图)
∴AB=AC+CD(等量代换)
∵DE=CD(已证)
截长
例3:已知:如图,△ABC中,
∠C=2∠B,∠1=∠2.
求证:AB=AC+CD
A
B
D
C
1
2
F
补短
例4已知:在△ABC中,AC=AB,
∠BAC=90°,∠ABC的角平分线交AC于
点E,过C点作CF⊥BE,交BE的延长线于点F
求证:
证明:延长CF、BA交于点G
∵BF平分∠ABC(已知)
1
2
3
∴∠1= ∠2(角平分线的定义)
∵CF⊥BE(已知)
∴∠2+ ∠BCF=90°
∠1+ ∠G=90°(直角三角形中两锐角互余)
∴∠BCF= ∠G(等角的余角相等)
∵∠BAC=90°(已知)
∴BC=BG(等角对等边)
∴CF= CG(等腰三角形三线合一)
∴∠CAG=∠BAC=90° ∠3+ ∠G=90°
沿着某条直线翻折构造全等
∵∠1+ ∠G=90°(已证)
∴∠1= ∠3(等角的余角相等)
1
2
3
在△CGA和△BEA中,
∠1=∠3(已证)
∠ CAG= ∠ BAE(已证)
∴△CGA≌△BEA()
CA=BA(已知)
∴CG =BE(全等三角形对应边相等)
∵CF= CG(已证)
∴
CF= BE(等量代换)
当已知条件中有角平分线或是线段和差问题时,
往往沿角平分线所在的直线或某条直线
将三角形翻折构造全等三角形
例题小结: