文档介绍：第4章控制系统稳定性分析 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后,其状态偏离平衡状态,在随后所有时间内,系统的响应可能出现下列情况:
1)系统的自由响应是有界的;
2)系统的自由响应是无界的;
3)系统的自由响应不但是有界的,而且最终回到原先的平衡状态。
李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。
显然,如果系统不稳定,则系统的响应是无界的,系统的输出将逐渐增加直到损坏系统,或者进入振荡状态。因此,系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。
李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
范数的概念
1. 向量的范数
定义:n维向量空间的范数定义为:
()
2. 矩阵的范数
定义:mxn矩阵A的范数定义为:
()
()
平衡状态
系统没有输入作用时,处于自由运动状态。当系统到达某状态,并且维持在此状态而不再发生变化的,这样的状态称为系统的平衡状态。
根据平衡状态的定义可知,连续系统的平衡状态是满足平衡方程即的系统状态。离散系统的平衡状态,是对所有的k,都满足平衡方程的系统状态。
首先讨论线性系统的平衡状态。由于平衡状态为,因此,当A为非奇异矩阵时,系统只有一个平衡状态;当A为奇异矩阵时,系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统,可能有一个平衡状态,也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。
求下列非线性系统的平衡状态
解由平衡状态定义,平衡状态应满足:
得非线性系统有三个平衡状态:
, , .
李雅普诺夫稳定性定义
定义:如果对于任意给定的每个实数,都对应存在着另一实数,使得从满足不等式的任意初态出发的系统响应,,则称平衡状态是一致稳定的.
定义:若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,并且当时, ,即,则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围(渐近)稳定
定义:如果对任意大的,系统总是稳定的,则称系统是大范围(渐进)稳定的。如果系统总是渐进稳定的,则称系统是大范围渐进稳定的。
4. 不稳定
定义:如果对于某一实数,不论取多小,由内出发的轨迹,至少有一条轨迹越出,则称平衡状态为不稳定.
上述定义对于离散系统也是适用的,只是将连续时间t理解为离散时间k。
注意:稳定性讨论的是系统没有输入(包括参考输入和扰动)作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以,通常通过分析系统的零输入响应,或者脉冲响应来分析系统的稳定性。
线性定常连续系统的稳定性条件
1. SISO线性定常连续系统稳定的条件
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:
()
则系统的特征方程为:
()
设特征方程()有k个实根,r对共轭复根,则系统的脉冲响应为:
()
从上式可以看出:
1)若, 均为负实部,则有,因此,当所有特征根的实部都为负时,系统是稳定的;
2)若, 中有一个或者几个为正,则有,因此,当特征根中有一个或者几个为正实部时,系统是不稳定的;