文档介绍：圆的知识点总结
集合:
圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹:
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
点与圆的位置关系:
点在圆内 d<r 点C在圆内
点在圆上 d=r 点B在圆上
点在此圆外 d>r 点A在圆外
直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点
直线与圆相切 d=r 有一个交点
直线与圆相交 d<r 有两个交点
圆与圆的位置关系:
外离(图1) 无交点 d>R+r
外切(图2) 有一个交点 d=R+r
相交(图3) 有两个交点 R-r<d<R+r
内切(图4) 有一个交点 d=R-r
内含(图5) 无交点 d<R-r
垂径定理:
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②AB⊥CD ③CE=DE
④⑤
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论也即:①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④
圆周角定理
圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即:∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧
即:在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵∠C=90°
∴∠C=90° ∴AB是直径
推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
即:在△ABC中,∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
即:∵MN是切线,AB是弦
∴∠BAM=∠BCA
圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C
切线的性质与判定定理
(1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
圆内相交弦定理及其推论:
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等
即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P
∴PA·PB=PC·PA
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙O中,∵直径AB⊥CD
∴
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线
∴
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到