文档介绍：§ 数学归纳法
2014高考会这样考 ;、不等式或数列有关的命题,考查分析问题、解决问题的能力.
复习备考要这样做 ;.
数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k (k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,.
[难点正本疑点清源]
,(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据.
,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1,而是根据题目要求,(2)步,证明n=k+1时命题也成立的过程,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法.
1. 凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+________.
答案π
解析易得f(k+1)=f(k)+π.
2. 用数学归纳法证明:“1+++…+<n (n>1)”,由n=k (k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项的项数是________.
答案 2k
解析 n=k时,左边=1++…+,
当n=k+1时,
左边=1+++…++…+.
所以左边应增加的项的项数为2k.
3. 用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边需计算的项是( )
+a
+a+a2 +a+a2+a3
答案 C
解析观察等式左边的特征易知选C.
4. 已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )
=k+1时等式成立
=k+2时等式成立
=2k+2时等式成立
=2(k+2)时等式成立
答案 B
解析因为假设n=k(k≥2且k为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.
5. 已知f(n)=+++…+,则( )
(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+
(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++
(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+
(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++
答案 D
解析从n到n2共有n2-n+1个数,
所以f(n)中共有n2-n+1项.
题型一用数学归纳法证明等式
例1 已知n∈N*,证明:1-+-+…+-=++…+.
思维启迪:等式的左边有2n项,右边有n项,左边的分母是从1到2n的连续正整数,末项与n有关,右边的分母是从n+1到n+n的连续正整数,首、末项都与n有关.
证明(1)当n=1时,左边=1-=,
右边=,等式成立;
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即
1-+-+…+-
=++…+,
那么当n=k+1时,
左边=1-+-+…+-+-
=+-
=++…+++
=++…++=右边,
所以当n=k+1时等式也成立.
综合(1)(2)知对一切n∈N*,等式都成立.
探究提高(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是几;
(2)由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子,即充分利用假设
,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.
用数学归纳法证明:
对任意的n∈N*,++…+=.
证明(1)当n=1时,左边==,
右边==,左边=右边,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即
++…+=,
则当n=k+1时,
++…++
=+=
===,
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.
题型二用数学归纳法证明不等式
例2 用数学归纳法证明:
1+≤1+++…+≤+n (n∈N*).
思维启迪:利用假设后,要注意不等式的放大和缩小.
证明(1)当n=1时,左边=1+,右边=+1,
∴≤1+≤,即命题成立.
(2)假设当n=k (k∈N*)时命题成立,即
1+≤1+++…+≤+k,
则当n=k+1时,
1+++…++++…+
>1++2k·=1+.
又1+++…++++…+