文档介绍：?怎样求函数的泰勒公式?对于一些较复杂的函数,为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算,、减、乘三种运算,便能求出它们的函数值,因此我们经常用多项式近似代替一般函数,那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?如果一个函数能用多项式近似代替,这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢?首先讨论若p(x)是一个n次多项式……由此可知,将n次多项式函数p(x)按着的幂展开,它的多项式的系数由多项式p(x)所确定,即对于任意的函数(不必是多项式函数),只要函数f(x)在点存在直到n阶导数,总能写出一个相应的n次多项式文档来自于网络搜索多项式称为f(x)(x),所产生的误差怎样表示呢?一般地,我们有:文档来自于网络搜索若函数f(x)在含有点的某开区间(a,b)内有直到n+1阶导数,则对任意的点x∈(a,b),有其中称为拉格朗日余项,记作,即上面的公式称为泰勒(Taglor)公式,也称为具有高阶导数的中值定理,在这里令n=1,,若用泰勒多项式近似代替f(x),所产生的误差是特别地,若在(a,b)上有界,设M>0,对,有则误差可表示:从上面可以求出,要求f(x)的泰勒公式,只要求出泰勒多项式的系数,而因此只须求f(x)+1可以写成x-(-1),故只需求出f(x)有-(Maclaurin)(x)=ln(1+x)展开为x的幂式(即马克劳林公式).思路启迪首先求出f(x)在0点的各阶导数,>-1时,f(x)是连续函数,并有连续的各阶导数:例4利用ln(1+x)?由导数的符号,可知函数f(x)的单调性,但还不能完全反映它的变化规律,如函数与(图3-17)在(0,+∞)都是单调增加的,但增加的方式却不同,是向上弯曲的,,研究函数图像时,-18(a)、图3-18(b)我们可以直观地看到,当动点P沿着曲线滑动时,,曲线是向上弯曲的,此时称曲线是向下凹的;当每一点切线位于曲线的上方时,曲线是向下弯曲的,=f(x)在区间(a,b)上是向下凹或是向上凸的,我们就说曲线y=f(x)在(a,b)上具有凸凹性,(x)在的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数,曲线y=f(x)在点的切线为因而切线上横坐标为x的点的纵坐标为:曲线上横坐标为x的点的纵坐标为:AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图3—19).(1)当时,则在点的充分小邻域内也大于0,因此AC>O,于是C在A之上,换句话说,在M的充分小邻域内,曲线弧落在切线之上,(2)当则在点的充分小邻域内也小于0,因此AC<0,即点C在A之下,换句话说,在点M的充分小邻域内,曲线弧落在切线之下,(3)当时,可能是正数也可能是负数.①若x由小于变为大于,不变号,则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸的;②若x由小于变为大于,变号,则在点M处曲线将从切线的一侧穿过切线进入另一侧,即曲线在点M附近两侧,其中一侧是向下凹的,,点M是曲线向下凹与向上凸的分界点,(3)中的②可以看出,若是使得的点,,我们可以给出判别曲线y=f(x)凸凹性的步骤:(1)求出y=f(x)的定义域D.(2)求出,并求出方程的根等.(3)用等点将D分成若干个区域,,则在此区间上的曲线是向下凹的;若,则在此小区间上是向上凸的(此步骤通常列表完成).文档来自于网络搜索x(-∞,0)0+0-0+f(x)向下凹1向上凸向下凹拐点(0,1)由上表可知,曲线在(-∞,0)与是向下凹的,在是向上凸的,拐点是(0,1)和,如图3-?我们知道双曲线的渐近线有两条:.在作双曲线的图象时,如果能先把两条渐近线作出来,再画曲线的图象,,先把它的渐近线求出来,对于准确描绘函数y=f(x)的图