文档介绍：
虚力原理与余能原理
泛函的变换格式
含可选参数的广义变分原理
基于Reissner原理的混合元
放松约束的变分原理及杂交元

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哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
虚力原理与余能原理
虚位移原理和势能原理(复习)
1) 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV
体积力虚功
表面力虚功
虚变形功
δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS
=δWi=∫VσijδεijdV
虚功方程——张量表达

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2) 势能原理的数学表达
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
总势能
应变能
外力势能
虚力原理
1)虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为:对一切自平衡的虚应力,恒有如下虚功方程成立(矩阵)
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
虚反力功
表面给定位移
虚余变形功

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虚功方程——张量表达
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
2) 必要性证明
εij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklσkl
V:δσij ,j =0 Sσ:δσijnj=0
已知条件:[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]
V:δ[σ]=[0] Sσ:[L]δ[σ]=[0]
需证明的是:∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
或张量表达形式已知条件:

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∫V( [A][u])Tδ[σ]dV=
∫S([L]δ[σ])T [u ] dS-∫V([A]δ[σ])T [u ] dV
1/2∫V(ui ,j+uj ,i) δσijdV=
∫SδσijnjuidS-∫V δσij ,juidV
[证明]:利用格林公式
或张量形式格林公式
考虑到虚应力的已知自平衡条件,立即可得
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
必要性证毕。

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2) 充分性证明
V:δσij ,j =0 Sσ:δσijnj=0
已知条件:[ε]= [D]-1[σ]
需证明的是:应变εij是协调的。
或张量表达形式εij=D-1ijklσkl
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
V:[A]δ[σ]=[0] Sσ:[L]δ[σ]=[0]
[证明] :因为V:[A]δ[σ]=[0],所以
对任意[λ] ∫V ([A]δ[σ])T [λ]dV=[0]
利用格林公式和已知条件可得

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设体内三个虚剪应力任意、独立,另三个正应力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意,因此可设
∫V( [D] -1[σ]-[A]T[λ])Tδ[σ]dV
+∫Su([L]δ[σ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0
(a)
在此条件下,式(a)由于虚应力的任意、独立性可得
V: [D] -1[σ]-[A]T[λ]=[0] Su: [λ]-[u ]0=[0]
充分性证毕。

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余能原理
和由虚位移原理导出势能原理一样,由虚力原理
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
可得
δ(1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS)=0
记VC如下所示,并称为变形体的总余能
VC=1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS
则由δVC=0可得
在一切可能的静力平衡状态中,某应力状态为真实应力的充要条件是,变形体的总余能取驻值。对线弹性体,此驻值为最小值。
余能原理

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余能原理等价于协调,表达为
VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS = min
利用格林公式,立即可证明
Ve+ VC=0
泛函的变换格式(龙驭球提出)
简单来说,势能原理等价平衡,表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS =