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文档介绍：线性代数第13讲
特征值和特征向量矩阵的对角化
7/15/2017
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5 特征值和特征向量矩阵的对角化
矩阵的特征值和特征向量相似矩阵
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特征值和特征向量的基本概念定义 1 设A为复数域K上的n阶矩阵, 如果存在数lK和非零的n维向量X, 使得 AX=lX, ()就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量.注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.
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AX=lX, ()
根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次线性方程组
(lI-A)X=0
有非零解的l值. 即满足方程
det(lI-A)=0 ()
的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI-A)的根.
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AX=lX, () det(lI-A)=0 ()定义2 设n阶矩阵A=[aij], 则
称为矩阵A的特征多项式, lI-A称为A的特征矩阵, ()式称为A的特征方程.
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显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式. 特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当n5时, 特征多项式没有一般的求根公式, 即使是三阶矩阵的特征多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法, 它是计算方法课中的一个专题.在作业和考试中, 一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2, -2进行尝试先得到一个根, 则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.
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例1 求矩阵
的特征值和特征向量.
解矩阵A的特征方程为
化简得(l-1)(l-1)2=0, A的特征值为l1=2, l2=1(二重特征值).
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当l1=2时, 由(l1I-A)X=0, 即
得其基础解系为X1=(0,0,1)T, 因此k1X1(k10为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.
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当l2=1时, 由(l2I-A)X=0, 即
得其基础解系为X2=(1,2,-1)T, 因此k2X2(k20为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.
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例2 主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是 |lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),故A,B的n个特征值就是n个主对角元.
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