线性代数11 PPT课件.ppt

文档介绍：线性代数第11讲
向量空间与线性变换
7/15/2017
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Rn的基与向量关于基的坐标
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Rn中的n个单位向量 e1=[1,0,0,...,0] e2=[0,1,0,...,0] ... en=[0,0,0,...,1]是线性无关的一个n阶实矩阵A=[aij]nn, 如果|A|0, 则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的. 此外, Rn中任何n+1个向量都是线性相关的, 因此Rn中任一向量a都可用Rn中n个线性无关的向量来表示, 且表示法唯一. 由此给出基和坐标的概念.
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定义1 设有序向量组B={b1,b2,...,bn}Rn, 如果B线性无关, 则任给aRn有 a=a1b1+a2b2+...+anbn, ()就称B是Rn的一组基(或基底), 有序数组(a1,a2,...,an)是向量a关于基B(或说在基B下)的坐标, 记作 aB=[a1,a2,...,an]或aB=[a1,a2,...,an]T,并称之为a的坐标向量.显然Rn的基不是唯一的, 而a关于给定的基的坐标是唯一的. 以后把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基.
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在三维几何向量空间R3中, i,j,k是一组标准基, R3中任一向量a可唯一地表示为 a=xi+yj+zk,这里有序数组(x,y,z)称为a在基i,j,k下的坐标. 如果a的起点在原点, (x,y,z)就是a的终点P的直角坐标. (以后常用R3中向量a与空间点P的一一对应关系, 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释).
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为讨论方便, 对向量及其坐标常采用列向量的形式[a1,a2,...,an]T, 则式子 a=a1b1+a2b2+...+anbn, ()可表示为分块矩阵相乘的形式
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设B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}是Rn的两组基, 则h1,h2,...,hn也都能被B1唯一地表示
可用分块矩阵表示为
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定义2 设Rn的两组基B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}满足
矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵.
过渡矩阵一定是可逆的.
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定理2 设向量a在两组基B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为 x=[x1,x2,...,xn]T和y=[y1,y2,...,yn]T.基B1到基B2的过渡矩阵为A, 则 Ay=x 或 y=A-1x.证由已知条件, 有()式成立, 且 a=x1a1+x2a2+...+xnan =y1h1+y2h2+...+ynhn, 故
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由于a在基a1,a2,...,an下的坐标是唯一的, 所以 Ay=x 或 y=A-1x.
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