线性代数§4.1 PPT课件.ppt

文档介绍：§ 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量.
例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量.
(1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第2个分量
第n个分量
第1个分量
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,通常用a, b, , 等表示, 如:
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量;
2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
二、向量空间
向量
解析几何
线性代数
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象:可随意平
行移动的有向线段
代数形象:向量
的坐标表示式
坐标系
当 n  3 时,
三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:
向量组a1, a2,···, an称为矩阵A的列向量组.
在日常工作, 学****和生活中, 有许多问题都需要用向量来进行描述.
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组a1, a2,···, an构成一个mn矩阵
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
线性方程组的向量表示
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
m个n维行向量所组成的向量组1T, 2T,···, mT 构成一个mn矩阵
定义: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量
k11 + k22 + ··· + kmm
称为向量组A: 1, 2,···, m的一个线性组合, k1, k2, ···, km称为这个线性组合的系数.
给定向量组A: 1, 2, ··· , m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ···,m, 使
b = 11 + 22 + ··· + mm
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 即线性方程组
11 + 22 + ··· + mm = b
有解.
定理1: 向量b能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, ···, m)与矩阵B=(1, 2, ···, m, b)的秩相等.
定义: 设有两向量组
A: 1, 2, ···, m 与 B: 1, 2, ···, s .
若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
若记A=(1, 2, ···, m)和B=(1, 2, ···, s), 向量组B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j =1, 2,···, s ), 存在数k1j, k2j, ···, kmj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ··· + kmj m
即
从而
矩阵K=(kij)ms称为这一线性表示的系数矩阵.
若Cmn=AmsBsn , 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵:
同时, C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A为这一表示的系数矩阵:
设矩阵A经初等行变换变成B, 则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合, 即B的行向量组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性可知: A的行向量组也能由B的行向量组线性表示. 于是, A的行向量组与B的行向量组等价.
类似地, 若矩阵A经初等列变换变成B, 则A的列向量组与B的列向量组等价.
若向量组B: 1, 2, ···, s能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表示, 即存在矩阵K, 使
(1, 2, ···, s)=(1, 2, ···, m)K