文档介绍：本科毕业论文
论文题目:分段函数分析性质的讨论
姓名:
学号:
系(部):
数学系
专业:
数学与应用数学
班级:
指导教师:
完成时间: 2011 年 4 月
摘要:本文主要是探讨了数学分析中分段函数在分段点处分析性质,采用不同类型的题目例举分析了分段函数的连续性、可导性、可积性及在不同问题上的具体应用,使我们能够更熟练的掌握分段函数的解题思路和技巧。
关键词:分段函数; 连续性; 可导性; 可积性
Abstract
This paper is the mathematical analysis of sub-sub-point function of the nature of the subject with examples of different types of analysis of piecewise continuity, differentiability, integrability and the different issues Specific applications, so that we can grasp more skilled problem-solving ideas to separate function and skills.
Key words: piecewise function; continuity; differentiability; integrability
前言
分段函数是数学分析中一类重要的函数,从函数的极限、连续到可导、可微、可积,从一元函数到多元函数的讨论,都涉及到了分段函数的问题,理解和掌握分段函数的性质对学好数学分析课程有重要的辅助作用。由于课本没有系统讨论分段函数的的分析性质,只以例题、习题的形式出现,不少学生对它的性质认识肤浅模糊,以致使学生解题常常出错。本文较为系统的讨论了分段函数的连续性、可导性、可积性,通过不同类型的题目例举讨论了这些性质在不同问题上的具体应用,使我们能够更好的理解、掌握分段函数的性质,更熟练的掌握分段函数的解题思路,解题技巧。
1 分段函数及其分段点处极限的存在性问题
所谓分段函数是指,对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,即在其定义域内不同区域的函数表达式不同。分段函数它是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.
分段函数主要有两种形式:
分界点左右的数学表达式不同的类型
即在分界点左右的数学表达式不同
例如:
分界点左右的数学表达式相同的类型
在分界点左右的数学表达式相同,但单独定义分界点处的函数值。
例如
分段函数的极限问题是讨论分段函数连续性、可导性问题的基础,所以,我们首先要明确分段函数在分段点的极限存在性问题
分界点左右的数学表达式不同的类型
在分段点处极限存在的充要条件:在分段点处左、右极限存在相等
例1:讨论在的极限存在性
解:因为和都是初等函数,所以他们在各自的定义域内连续,所以令,得到,所以只有时才连续,其他时候不连续。(修改本题)
分界点左右的数学表达式相同的类型。
例2 讨论在的极限存在性
解:=
当时,由无穷小与有界量的积为无穷小,可知==0
极限存在,当时,由子列判定法可知极限不存在。
2 分段函数连续性问题
(定义法)
定义:则在处连续(修改本文所有黑体极限符号)
即在处连续须使存且极限值等于或在分段点处左、右极限存在相等且等于,即在分段点处左、右连续.
例3 考察函数在点处的连续性
解:因为分段函数在分界点左右的数学表达式不同,所以在处连续的充要条件:
,所以在点处不左连续
从而它在处不连续。
例4 考察函数
的连续性
分析:对于分段函数,除分段点外,分段函数在其定义域区间内都是连续的,故判断分段函数的连续性只需判断分段点处的连续性。
解:已知函数的间断点为的点即
所以
在和上是连续的,在分段点处有
所以函数在处是连续的,从而在整个定义域内是连续的。
导数法: 函数在分段点的左、右导数均存在则在连续
证明: 记,只须证
因为在点右可导,即存在,所以
同理,据在左可导有。所以,
即在连续。
例5 若在处左右可导,求的值。
解:函数在分段点的左、右导数均存在则在处连续,
故
分段函数间断点的类型与函数连续延拓性的、函数的有界性
对于一元函数,在的空心临域内有定义,或在点有定义但不连续,则称点为函