文档介绍：(备战中考)江苏省2012年中考数学深度复****讲义
(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)
二次函数
◆知识讲解
①一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.
②当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
③二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的三种表达形式分别为:一般式:y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为(-,).对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点.
④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-,最值为,(k>0时为最小值,k<0时为最大值).由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上,且y轴为对称轴即x=0.
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将y=ax2沿着y轴(上“+”,下“-”)平移k(k>0)个单位得到函数y=ax2±k,将y=ax2沿着x轴(右“-”,左“+”)平移h(h>0)个单位得到y=a(x±h)2.在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减(右减左加).
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a,b,c的作用:a的正负决定了开口方向
,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴x=-的右侧,y随x的增大而增大,此时y有最小值为y=,顶点(-,)为最低点;当a<0时,开口向下,在对称轴x=-的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴x=-的右侧,y随x的增大而增大,此时y有最大值为y=,顶点(-,)为最高点.│a│的大小决定了开口的宽窄,│a│越大,开口越小,图像两边越靠近y轴,│a│越小,开口越大,图像两边越靠近x轴;a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y轴,当a,b同号时,对称轴x=-<0,即对称轴在y轴左侧,垂直于x轴负半轴,当a,b异号时,对称轴x=->0,即对称轴在y轴右侧,垂直于x轴正半轴;c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y轴交于正半轴;c<0时,与y轴交于负半轴,以上a,b,c的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.
◆例题解析
例1 (2011湖南湘潭市,25,10分)(本题满分10分)
如图,直线交轴于A点,交轴于B点,过A、B两点的抛物线交轴于另一点C(3,0).
O
C
B
A
⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点,交轴于B点,[ :Z+xx+]
∴A点坐标为(-1,0)、B点坐标为(0,3).
又∵抛物线经过A、B、C三点,
∴,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3= ,∴该抛物线的对称轴为x=1.
设Q点坐标为(1,m),则,又.
当AB=AQ时, ,解得:,
∴Q点坐标为(1,)或(1,);
当AB=BQ时,,解得:,
∴Q点坐标为(1,0)或(1,6);
当AQ=BQ时,,解得:,
∴Q点坐标为(1,1).
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q(1,)、(1,)、(1,0)、(1,6)、(1,1),使△ABQ是等腰三角形.
例2(2011湖北荆州,22,9分)(本题满分9分)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴是,B(4,2),一次函数的图象平分它的面积,关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.
第22题图
【答案】解:过B作BE⊥AD于E,连结OB、CE交于点P,
∵P为矩形OCBE的对称中心,则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.
∵P为OB的中点,而B(4,2)∴P点坐标为(2,1)
在Rt△ODC与Rt△EAB中,OC=BE,AB=CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB(HL