文档介绍：摘要限元,间断有限元采用完全间断的分片多项式空间和试探函数进行在科学计算中,间断有限元成了热门的研究方法。相对于连续有离散逼近,因而具有高并行性、高阶精度、灵活地自由度选取和更好的局部紧致性。这些优点使得间断有限元所求得数值解能够更好的模拟复杂几何框架结构,描绘其物理状态。本文主要讨论利用间断有限元方法,在均匀网格下数值求解线·鶶方程。本文首先对问题的研究背景及物理意义进行介绍,接下来,构造了半离散间断有限元法求解匠蹋明了这种方法采用的数值格式具有稳定性,在空间方向范数下具有樟步祝⒍晕蟛罱蟹治觥6允奔浞较颍颐遣捎帽持强稳定性的三阶狵方法离散。关键词:间断有限元方法;:
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目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..髀匠碳蚪椤间断有限元的背景⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..本文结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.甋方程的半离散椒半离散袷健稳定性分析⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.误差估计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ɡ肷⒕植考涠螱椒ḿ捌涫导扑全离散局部间断方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯数值算例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯芙嵊牒笮ぷ靼才拧参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.
湖南师范大学届硕士学位论文
流掣焕鰄兄州叫№蛆砒蚧一篆州卅附第一章绪论匠碳蚪§匠淌怯砂碌乩锢硌Ъ襍噜于年提出【,是量子力学的理论奠基之一。根据波粒二象性,镏什ǖ概念和波动方程结合在一起建立关于波函数的二阶偏微分方程,通过波函数Ⅲ㈦殖聘怕史来描述微观粒子的状态随时间变化的规律。波函数成为量子力学研究的主要对象之一。力学量取值的概率分布如何,这个分布随着时间如何变化,这些状态都可以通过求解波函数满足的匠痰玫浇獯稹描述微观粒子状态的波函数为Ⅲ,,则质量为奈⒐哿W釉势场中运动的匠涛匠逃辛礁鲋匾P灾剩憾杂谙摺生匠蹋浣满足叠加原理;匠谭匠淌枪赜谑奔鋞的一阶方程,因而可以根据初始时刻如的状态确定其后所有时间的状态。综合上述性质,在给定初始条件和边界条件,根据波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数皿,。由此可计算粒子的分布概率和状态。特别地,当势函数不依赖于时时,此时粒子的状态称为稳定态,粒子具有确定的能量。根据数学物理方程的知识ê数可分离成Ⅲ,:西,可以得篈磺撸街惺称为定态波函数,满足定态匠这一方程在数学上称为特征方程,其中何是定态能量,也为特征值,西殖莆J粲谔卣髦礒的特征函数。这里形如Ⅲ,挥匠痰腄邢拊=夥
枷,矿訢在科学计算中,我们为了方便计算,令,志匠算起来比较复杂。有限元方法可以构造精度较高的离散格式,单元的波函数称为对应蚶傅淖闾狻为****惯地,我们记做:猳騨—弧髅瑃瑃众多的学者从理论上和数值方法两个角度对匠套隽大量相关工作,貌ǖ哪嫔⑸湓砬蟮靡晃琋方程的精确解】.对于一般的匠檀成喜捎闷矫娌ê腿哦分析庵荒艿玫郊虻サ钠矫娌ń峁购腿跞哦峁6杂诟丛的低常荒芙魄蠼猓蛭6杂Ω丛拥南低大于龅子的原子涞缱又溆捎谄帘涡в没岵嗷プ饔玫贾率颇懿变化,因而不能精确求解。另外对于与时间有关的匠倘果采用直接的数值求解,能更加有效、灵活地得到在边界媒质上的复杂几何构架的量子结构,比如量子阱、量子线、量子点等K以用来探索散射粗糙界面和不同类型的入射波的量子结构,因此能够模拟和仿真粒子结构和状态。在科学计算中,主要的数值求解方法为有限差分法、有限元方法、有限体积法。有限差分法使用方便简单,应用广泛,但是对于计算区域的适应性差,对于复杂的边界条件,处理起来不灵活。而有限体积法处于有限差分法与有限元方法之间,其主要思想是对原方程在单元区域上积分,通过散度定理得到区域边界上的通量积分形式,最后离散边界上的通量得到相应的有限体积格式。有限体积法适用于计算网格比较规则,主要的有点在于数值通量维持局部守恒性、但是想得到高精度的数值解,需要扩大节点重新构造多项式,计区域剖分的灵活性保证了对求解复杂区域和边界问题适应性。但是传统的有限元方法对于间断问题的处理能力有局限性,不能处理带边界层的间断问题,会产生物理性震荡。传统的有限元方法所得数值解在边界层上具有连续性要求,而且在不同的单元上基本上都选湖南师范大学届硕士学位论文
间断有限元方法和传统的有限元方法一样,采用单元多项式空样通过在单元边界上选取合适的数值通量来实现,能够选择适当的基函数使得质量矩阵是分块对角的,方便并行计算的实现。方法采用局部高阶插值方法构造基函数,能够灵活处理复杂区域和边界条件,应付间断问题,克服了一般的有限元方法不适合求解间断问力学,电磁学等领域。特别是在流体力学领域的计算,在专著中,刘儒勋和舒其望专门介绍