文档介绍：数学计算机学院数学与应用数学(师范)2011届方娜摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义,讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵,:伴随矩阵;矩阵的秩;矩阵的逆;性质中图分类号::Theconceptoftheadjointmatrixwasfirstlyreviewed,thentherank,thereversibility,theeigenvalueoftheadjointmatrixandadjointmatricesofsomespecialmatriceswerediscussed,,:adjointmatrix;therankofthematrix;inversematrix;property目录1前言 12伴随矩阵的定义 13伴随矩阵的性质 44伴随矩阵的性质的简单应用 7结束语 8参考文献 9致谢 9矩阵的伴随矩阵的性质1前言矩阵是高等代数的重要组成部分,,,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,,并给予证明,—=,是A中元素的代数余子式,[1]阶矩阵可逆的充分必要条件是;当可逆时,,,[2]由行列式按一行(列):(1)可逆时,;(2),且为阶可逆矩阵,,则,,得,,,则[3],,.性质3设为阶方阵,为任意非零常数,,,性质4证明(法一)设,则,,,.(法二)由性质2注(1),.性质5证明由性质1注(1),.推广设均为阶方阵,则,特别地,,,若以表示矩阵的秩,则有以下结论:定理2[3]设是阶矩阵,则证明(1)当时,,由性质2,,所以.(2)当时,,,则齐次线性方程组的解向量组的秩为,知的列向量组的秩为1,即列秩为1,故.(3)当时,的每一个元素都是0,因为没有不为0的阶子式,,特别,当时,.证明当可逆,即时,,.当不可逆,即时,,,,,,,,,又为的特征值,故存在非零向量,使得,即,从而,,,利用得到,,.若可逆,,.,,,,,,,因为是对称的,,,,若是对称矩阵,,,则当为偶数时,仍为反对称矩阵;当为奇数时,,又,由性质4得,.所以,当为奇数时,,此时是对称方阵;当为偶数时,,(下)三角矩阵的伴随矩阵仍为上(下),当时,.直接计算得,,.即,,若为下三角矩阵,,则也