文档介绍：第一章行列式一、概念1、n级排列:由自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序数组称为一个n级排列,、逆序:对n级排列,若,则称与构成一个逆序,记为。3、逆序数:一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数。4、奇排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列偶排列:逆序数为偶数的排列称为偶排列5、对换:在一个级排列中,若仅将其中两个数对调,其余不动,可得一个新的排列,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。记为:6、n阶行列式:7、余子式和代数余子式:对阶行列式,元素的余子式:。元素的代数余子式:.二、性质1、级排列的总数为个2、一次对换改变排列的奇偶性。3、在所有的级排列中,奇排列与偶排列的个数相等,、阶行列式的展开项中的一般项也可写为:5、阶行列式的展开式又可表示为:6、上三角、下三角行列式的值为对角元积:7、行列式与其转置相等。8、行列式的性质(1)、互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。(2)、若行列式中有两行(列)完全相同,则行列式值为零。(3)、行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。(4)、若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。(5)、若行列式的某两行(列)的对应元素成比例,此行列式的值为零。(6)、(7)、把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。9、对n阶行列式,可以按行(列)展开为:10、Cramer法则:对元线性方程组,若系数行列式,则该方程组有唯一解,且解为:11、对元齐次线性方程组,(1)一定有解。(2)当时,仅有零解。(3)有非零解的充要条件是:。三、计算(参考作业)1、求逆序数2、计算行列式(2阶、3阶、高阶)3、求解代数余子式4、行列式按行(列)展开5、利用行列式求解线性方程组的解。第二章矩阵一、概念1、矩阵:由m×n个数,排成的一个m行n列的数表:称为一个行列矩阵,简记为矩阵2、矩阵的迹:任意n阶方阵A的对角元的和,记为:3、几种特殊的矩阵:对角矩阵、数量矩阵、(上、下)三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。4、分块矩阵:在矩阵A的行和列之间加进一些虚线,把A分成几个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。5、逆矩阵:对于阶方阵,若存在矩阵,使得,则称为可逆矩阵,简称可逆。并称与互为逆矩阵。6、伴随矩阵:对阶方阵,有伴随矩阵,其中是A的行列式中元素的代数余子式。7、矩阵的最简形:。8、三种初等变换:(1)互换矩阵的某两行(列):(2)用非0数乘以矩阵的某一行(列):(3)用非0数乘以矩阵的某一行(列)再加到另一行(列):二、性质1、矩阵的加(减)法2、矩阵的数乘(注意与行列式数乘的不同)3、两矩阵的乘积,(1)矩阵乘法不满足交换率,即一般AB≠BA(2)矩阵乘法不满足消去率,即由AB=AC,A≠0,不能得出B=C(3)在矩阵乘法中,由AB=0不能推出A=0或B=0。4、方阵的幂:设A为n阶方阵,k为正整数,(1)只有当为阶方阵时,才有方幂的概念.(2)(什么时候成立?)(3)一般来说:(什么时候成立?)5、矩阵的转置,转置操作的一些性质:6、方阵的行列式(1)当是同阶方阵时,。(2)若为实数,则对于阶方阵,。(3)为阶方阵,则。7、对角矩阵的性质:(1)、同阶对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵。(2)、对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵相同8、三角矩阵的性质:(1)同阶上(下)三角矩阵的和、差、积仍为上(下)三角矩阵。(2)上(下)三角矩阵的转置为下(上)三角矩阵9、对称矩阵与反对称矩阵的性质:(1)同阶对称矩阵(反对称矩阵)的和、差仍为对称矩阵(反对称矩阵).(2)阶方阵为对称矩阵的充要条件是(3)阶方阵为反对称矩阵的充要条件是(4)两个对称(反对称)矩阵乘积不一定是对称(反对称)矩阵。10、分块矩阵的性质。(1)、两同阶矩阵相加,要求的两个矩阵采用相同的分块方法。(2)、两矩阵相乘,要求的列的分法与的行的分法相同.(3)、分块矩阵的转置,则(4)、对于分块矩阵,则11、若可逆,则:12、若可逆,则:13、n阶方阵A与其伴随矩阵满足:若A可逆。则:14、n阶方阵A可逆的充要条件是。15、若为同阶方阵,且,则均可逆,且16、初等矩阵都是可逆矩阵,且它们的逆仍为初等矩阵。17、对矩阵施行一次初等行变换相当于在的左边乘以相应的初等矩阵;施行一次初等列变换相当于在的右边乘以相应的初等矩阵。18、任意一个矩阵,总可以经过有限次初等变换,化为最简形。推论(1):、阶方阵可逆的充要条件是能表示成一系列初等矩阵的乘积。即推论(2):若阶方阵可逆,、计算(参考作业)1、求解伴随矩阵2、利用矩阵的性质,证明矩阵