文档介绍：数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学****能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下九种:一利用重要不等式放缩均值不等式法例1设求证解析此数列的通项为,,即注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里其中,等的各式及其变式公式均可供选用。例2已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:(02年全国联赛山东预赛题)=,:法1利用假分数的一个性质可得即法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得注:例4是1985年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是:证明(可考虑用贝努利不等式的特例)例5已知函数求证:对任意且恒成立。(90年全国卷压轴题)简析本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;这里给出运用柯西()不等式的简捷证法:而由不等式得(时取等号)(),得证!例6已知用数学归纳法证明;对对都成立,证明(无理数)(05年辽宁卷第22题)解析结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:。于是,即注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:,即例7已知不等式表示不超过的最大整数。设正数数列满足:求证(05年湖北卷第(22)题)简析当时,即于是当时有注:①本题涉及的和式为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩;②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生的学****能力与创新意识。例8设,求证:数列单调递增且解析引入一个结论:若则(证略)整理上式得(),以代入()式得即单调递增。以代入()式得此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。注:①上述不等式可加强为简证如下:利用二项展开式进行部分放缩:只取前两项有对通项作如下放缩:故有②上述数列的极限存在,为无理数;同时是下述试题的背景:已知是正整数,且(1)证明;(2)证明(01年全国卷理科第20题)简析对第(2)问:用代替得数列是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列递减,且故即。当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。二部分放缩例9设求证:解析又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,于是例10设数列满足,当时证明对所有有;(02年全国高考题)解析用数学归纳法:当时显然成立,假设当时成立即,则当时,成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得注:上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:;证明就直接使用了部分放缩的结论。三添减项放缩上述例4之法2就是利用二项展开式进行减