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理学硕士学位论文
群逆与基尔霍夫指标的界
硕士研究生: 慕慧娟
指导教师: 卜长江教授
学位级别: 理学硕士
学科、专业: 应用数学
所在单位: 理学院
论文提交日期:2012 年 12 月 28 日
论文答辩日期:2013 年 3 月 16 日
学位授予单位: 哈尔滨工程大学
Classified Index:
:
A Dissertation for the Master Degree in Science
Group Inverse and Bounds for Kirchhoff
Index of a Graph
Candidate: Mu Huijuan
Supervisor: Prof. Bu Changjiang
Academic Degree Applied for: Master of Science
Specialty: Applied mathematics
Date of Submission: Dec. 28, 2012
Date of Oral Examination: Mar. 16, 2013
University: Harbin Engineering University
哈尔滨工程大学
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作者(签字):
日期: 年月日
哈尔滨工程大学
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本论文(□在授予学位后即可□在授予学位 12 个月后□解密后)
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作者(签字): 导师(签字):
日期: 年月日年月日
群逆与基尔霍夫指标的界
摘要
矩阵广义逆有很多应用,研究矩阵广义逆表达式问题非常重要. 其中,分块矩阵
群逆的表达式问题是学者们研究较为活跃的部分,矩阵的群逆有很多重要的应用, 分
块矩阵的群逆在求解奇异微分方程和差分方程、线性方程组、迭代方法、概率统计、
马尔可夫链、密码学等诸多领域中有着重要的应用, 因此研究分块矩阵的群逆表达式
有着重要意义.
电阻距和基尔霍夫指标在数学领域和化学领域都有非常广泛的研究. 电阻距与广
义逆又有着密切的关系, 电阻距的公式也可以用群逆来表示. 因此, 基尔霍夫指标的
界也可以用矩阵的群逆来表示, 也就是说群逆可以用到基尔霍夫指标问题中, 所以说
群逆和基尔霍夫指标问题都需要做深入研究.
Campbell 和 Meyers 提出了一个22´ 阶分块矩阵的群逆表达式 open 问题. 由于问
题的难度较高和计算方法的局限性, 这些问题至今尚未被完全解决. 在过去的几十年
里, 国内外有很多学者在这方面做了大量的工作, 给出了在一定前提条件下22´ 阶分
块矩阵群逆和 Drazin 逆表达式的一些研究结果. 由此考虑, 本文利用矩阵分块、两个
矩阵加和公式、值域的性质给出了在一定前提条件下22´ 阶分块矩阵的群逆的存在性
和它的群逆表达式.
Klein 和 Randic 提出了图的电阻距的概念, 并且指出电阻距不仅是定义在图上的
距离函数, 而且是图的重要的不变量. Klein 和 Randic 还提出了一个类似于 Wiener 指标
的新指标,就是图G 中所有点对之间的电阻距之和, 并且最终命名为基尔霍夫指标. 国
内外有很多学者在这方面做了大量的工作,给出了一些特殊图的基尔霍夫指标的界.
研究基尔霍夫指标的界是一个值得继续研究的问题, 同时也是一个具有一定的难度