文档介绍：数学解题中的常见思维转化
数学解题是在解题教学中将问题有目的地转难为易并对学生进行思维转化的培养,从而提高学生解答问题的能力。本文谈谈数学解题中的几种常用的思维转化方法。
一. 分解转化
遇到复杂的问题,可透过问题的本质将其分解成简单的小问题逐一去解决。
例1. 如果三个方程,中,至少有一个方程有实根,求k的取值范围。
分析:如果从总体考虑方程有实根的情况,则较繁;若用分解思维进行转化,则较简便。
解:设三个方程都没有实数根

由(1)得:
由(2)得:或
由(3)得:
即当或时,三个方程中至少有一个方程有实根。
二. 整体转化
对一些问题,不能“一叶障目”,而要通过研究问题的整体形式和结构,进行整体处理,则可达到速解题目的目的。
例2. 已知直角三角形的周长为,斜边上的中线为1,求直角三角形的面积。
分析:如图1,设两直角边分别各a,b,则

图1
若分别解出a、b,然后再求直角三角形面积,则较繁,若视为一整体来求,则简便得多。
解:由得
,即直角三角形的面积为
三. 逆向转化
逆向思维是从事物的相反角度观察,探索克服学生思维过程中的单向思维定势,创造性地运用知识使问题化难为易。
例3. 如果m、n是互不相等的实数,并且,求的值。
分析:若先求出m、n的值,再求的值,则较繁,如果逆向运用方程的根定义,把m、n看成方程的两根,由韦达定理知;,于是有

四. 数与形的转化
数形结合是把抽象的“数”转化为直观的“形”的数助形的思维转化方法。
例4. 如果正实数a,b,c,d满足
(1) (2)
求证:
分析:若按常规法,由(1)(2)分别去求a、b、c、d则较繁,若构造几何图形来解,则较简便。
解:由(1)得到启示,可构造直角三角形ABC,如图2示,使,,
图2
由条件(2)可联想到射影定理,作斜边AB上的高CD,知,于是,由三角形面积公式,
得
故
五. 特殊与一般的转化
在证明几何定值题时,通常把题中变动的元素变到特殊位置。
例5. 设a为等边的边长,EF分别为AC、AB上的点,且满足,BE与CF交于点P,求证:恒为一定值