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2009年高考数学难点突破专题辅导十三
难点13 数列的通项与求和
数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法.
●难点磁场
(★★★★★)设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列{an}的前3项.
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
(3)令bn=(n∈N*),求(b1+b2+b3+…+bn-n).
●案例探究
[例1]已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)}的前n项和为Sn,对一切n∈N*,都有=an+1成立,求.
命题意图:本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限,★★★★★级题目.
知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和,实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系,是该条件转化的突破口.
错解分析:本题两问环环相扣,(1)问是基础,但解方程求基本量a1、b1、d、q,计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.
技巧与方法:本题(1)问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn},运用和与通项的关系求出dn,丝丝入扣.
解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,
∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,
∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,
∴=q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,
∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1
(2)令=dn,则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
∴dn=an+1-an=2,
∴=2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn=[1-(-2)n].
∴
[例2]设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;
(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求.
命题意图:本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系;集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.
知识依托:利用项与和的关系求an是本题的先决;