文档介绍：实验四
数学家的生日蛋糕
——积分
一、引例:数学家的生日蛋糕
某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型,学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数
r = 2-(exp(2h)+exp(-2h))/5, 0<h<1
(单位:米) 。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积(底面除外),问如何计算重量和表面积?
解设高为H,半径 r, 比重为k
若蛋糕是单层圆盘的,则蛋糕的重量和表面积分别为:
W=kHr2 S = 2Hr+r2
若蛋糕是双层的,每层高H/2 ,下层半径r1, 上层半径r2,则
W=kH(r12+ r22)/2
S = H(r1+r2)+r22
如果蛋糕是n层的,每层高H/n,半径分别r1, …, rn, 则
r
H
r1
r2
若蛋糕边缘是曲线r = r(h), 0<h<H,各层半径近似为ri = r((i-1/2)H/n), i=1, …, n, 那么
当n,
二、数学理论复****积分
函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为
其中 a=x0<x1<…<xn=b,
xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,…,n
若在[a,b]上, F’(x)=f(x), 则
二重积分定义为
三、数值积分:梯形法和重积分
1、梯形法
在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线,用弦线代替,则
设f(x)在[a,b]上大于0, a=x0<x1<……<xn=b, 则
a
xi-1
b
xi
通常将[a,b]区间n等分,h=(b-a)/n, xi=a+ih,
称为梯形公式
2、重积分
重积分的数值计算可通过单积分组合计算
我们利用梯形法,先将[a,b]区间m等分,hx=(b-a)/m, xi=a+ihx, i=0,1,…,m
再将[c(xi),d(xi)]区间n等分,
hy(i)=(d(xi)-c(xi))/n,
yij=c(xi)+jhy(i), 则
G(xi)
A
a
b
d(x)
c(x)
其中
。
I=dblquad2(‘f_name’,a,b,‘c_lo’, ‘d_hi’,
m,n)
其中‘f_name’为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量, y为向量,‘c_lo’和‘d_hi’是y的下上限; a , b为x的下上限;m, n 为x和y方向的等分数(缺省值100)。
四、使用MATLAB
解将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件,再调用dblquad2即可求解。
例1
trapz 梯形法积分 quad 变步长数值积分
int 符号积分 quad8 高精度数值积分
dblquad 矩形区域的二重积分