文档介绍：2010年备考最新6套数学压轴题之一
1.(本小题满分12分)
已知,函数,(其中为自然对数的底数).
(1)判断函数在区间上的单调性;
(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解(1):∵,∴.
令,得.
①若,则,在区间上单调递增.
②若,当时,,函数在区间上单调递减,
当时,,函数在区间上单调递增,
③若,则,函数在区间上单调递减. ……6分
(2)解:
∵,,
由(1)可知,当时,.
此时在区间上的最小值为,即.
当,,,∴.
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解.
而,即方程无实数解.
故不存在,使曲线在
处的切线与轴垂直……12分
2.(本小题满分12分)
已知线段,的中点为,动点满足(为正常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点所在的曲线方程;
(2)若,动点满足,且,试求面积的最大值和最小值.
解(1)以为圆心,,即,动点所在的曲线不存在;若,即,动点所在的曲线方程为; 若,即,动点所在的曲线方程为.……4分
(2)当时,,且
设,,的斜率为,则的方程为,的方程为解方程组
得,
同理可求得,
面积= ………………8分
令则
令所以,即
当时,可求得,故,
故的最小值为,最大值为1. ……12分
(2)另解:令
,则
解得
所以
,而
因此,即最大值是1,最小值是.
3.(本小题满分12分)
函数的反函数为,数列和满足:,,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若数列的项中仅最小,求的取值范围;
(3)令函数
,.数列满足:,且,(其中).证明:
解:(1)令解得由解得
∴函数的反函数
则
得
是以2为首项,1为公差的等差数列,故…………3分
(2)

在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值,
∴的取值范围为………6分
(3)
所以
又因则
显然…………8分…10分

2010年备考最新6套数学压轴题之二
1.(本小题满分12分)已知=-,Î(0,e],其中是自然常数,
(Ⅰ)当时, 求的单调区间和极值;[来源:学科网]
(Ⅱ)是否存在实数,使的最小值
是3,若存在,求出的值;若不存在,说
明理由.
解(1)时,, ……1分
由得,∴f(x)的单调递减区间(0,1)
由得,单调递增区间(1,e) ……3分
∴的极小值为……4分
(2)假设存在实数,使()有最小值3, …………………5分
①当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值. ……7分
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,,满足条件. ……9分
③当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.……11分
综上所述,存在实数,使得当时有最小值3 。……12分
2 (本小题满分12分)
设上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;[来源:]
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
解: 椭圆的方程为 4分
(2) ①当直线AB斜率不存在时,即,由
…………5分
又在椭圆上,所以

所以三角形的面积为定值.……6分
②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b
,D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0……………8分而,
……………10分
S=|AB|=|b|===1
综上三角形的面积为定值1.………………………12分
3.(本小题满分12分)
已知数列的前n项和满足:
(为常数,
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为
等比数列,求的值;
(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,
,数列的前n项和
为. 求证:.
解:(Ⅰ)
∴……….1分
当时,
两式相减得:,
(a≠0,n≥2)即是等比数列.
∴;…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a≠1
,
,
若为等比数列,则有
而,
……6分
故,
解得, ……………………7分
再将代入得成立,
所以. …………8分
(III)证明:由(Ⅱ)知,
所以,
… 10分
所以
[来源:学科网]
………12分[来源:]
2010年备考最新6套数学压轴题之三
(本小题满分13分)
已知函数的导数
.a,b为实数,.
若在区间上的最小值、
最大值分别为、1,求a、b的值;
在(1) 的条件下,求曲线在点P(2,1)
处的切线方程;
设函数,试判
断函数的极值点个