文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuseForpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse第三章二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其联合分布  设Ω为某实验的样本空间,X和Y是定义在Ω上的两个随机变量,则称有序随机变量对(X,Y)为二维随机变量。逗号代表二者同时发生比如,研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量;打靶弹着点选取横纵坐标。§定义1:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数χ,y,称二元函数F(χ,y)=P{X≤χ,Y≤y}为(X,Y)的分布函数或称为X与Y的联合分布函数。几何上,F(χ,y)表示(X,Y)落在平面直角坐标系中以(χ,y)为顶点左下方的无穷矩形内的概率(见图) y (x,y)二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)具有以下四条基本性质:0 x1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的,即若x1<x2,则有F(x1,y)≤F(x2,y);若y1<y2,则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13°F(x,y)对每个自变量是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)4°对任意x1≤x2,y1≤y2有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上,由图可见(见右图)   F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)减了两次 例1设(X,Y)的分布函数为解:由性质4°可得    §定义2:如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量 设(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,……,则称下列一组概率P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,……,为(X,Y)的分布律,或称为X与Y的联合分布律,用表格表示:XYy1y2……yj……χ1p11p12……p1j……χ2p21p22……p2j……┆┆┆……┆……χipi1pi2……pij……┆┆┆……┆……≥0,一切i,j, 2. 显然,(X,Y)落在区域D内的概率应为由此便得(X,Y)的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的四个邮筒内投,令X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数;Y表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。试求(X,Y)的分布律,并分别求投入Ⅰ,Ⅱ号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入Ⅰ,Ⅱ号邮筒的概率。解: 总之,(X,Y)的分布律为XY01204/164/161/1614/162/16021/1600投入Ⅰ,Ⅱ号邮筒内邮件数相等的概率为至少有一封信投入Ⅰ,Ⅱ号邮筒的概率为P{X≥1或Y≥1}=1-P{X<1且Y<1}=1-P{X=0,Y=0}=1-P11=1-4/16=3/4§定义3:设F(χ,у)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,如果存在非负函数ƒ(χ,у)使得对任意实数χ,у有, 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,ƒ(χ,у)为(X,Y)的概率密度或称为X与Y的联合概率密度。性质:1。ƒ(χ,у)≥0一切χ,у 2。一个重要结果:几何解释:(见图)(1)ƒ(χ,у)≥0表明密度曲面z=ƒ(χ,у)应在χOу坐标面的上方;(2)       表明密度曲面z=ƒ(χ,у)与χOу坐标面所围成图形的体积为1表明(X,Y)落在平面区域D内的概率等以D为底,以密度曲面z=ƒ(χ,у)为顶的曲顶柱体的体积 概率密度与分布函数关系为:;(X,Y)的概率密度为(1)求常数A;(2)求概率P{X+Y≥1}解:(1)由于即得(X,Y)的概率密度为(2)二边缘分布§设(X,Y)的分布函数为F(χ,у),X和Y的分布函数分别为FX(χ),FY(у),于是同样有称FX(χ)=F(χ,+∞)为二维随机变量(X,Y),关于X的边缘分布函数;称FY(у)=F(+∞,у)为二维随机变量(X,Y),关于Y的边缘分布函数。(X,Y)的分布函数为求关于X和Y的边缘分布函数解:关于X的分布函数同理可得关于Y的边缘分布函数§ 设(X,Y)的分布律为P{X=χi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,……,可以证明X的分布律可以由X和Y的联合分布律求得:事实上,由于{Y<+∞}为必然事件,于是同样,Y的分布律也可以由联合分布律求得:用表格求边缘分布律只要在联合分布律表上加一行一列,然后分别按行按列相加即可XYy1y2……yj……χ1p11p12……p1j……χ2p21p22……p2j……p2.┆┆┆ ┆ ┆χipi1pi2……pij……┆┆┆ ┆ ┆……┆……1例5: