文档介绍：腿求数列极限的方法蒃摘要螂极限论是数学分析的基础,它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类:一类是数列的极限,一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的,在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中,必然以相关的概念、定理及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧。艿关键词:极限、数列蚆1、预备知识蒅数列极限:袀设是一数列,如果存在常数,当n无限增大时,无限接近(或趋近)于,则称数列收敛,称为数列的极限,或称数列收敛于,记为=或:→,当n→∞。螈数列极限的ε-N定义蒆设{}是一个数列,事一个确定的数,若∀ε>0,存在自然数N使得当n>N时,就有│-│<ε,则称数列收敛于,称为它的极限,记作=或→(n→∞)读作:“当n趋于无穷大时,的极限等于”或“当n趋于无穷大时,趋于”。lim为拉丁文limes一词的前三个字母,也有说成是英文limit一词的前三个字母的。若数列{}没有极限,则称这个数列不收敛或称它为发散数列。薆数列极限的性质:芃 :若数列的极限存在,则极限值是唯一的;蒁 :如果一个数列收敛(有极限),那么这个数列有界。但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛。膆 :如果一个数列{}收敛于a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有>0(或<0)。莃 ,不改变数列的极限。:莅求解策略:熟记常见极限的结论,如螃芀蚇(│q│<1),!的数列极限,由于n!的特殊性,直接求非常困难,而转化为定积分来求救相对容易了。芄例1求芄解:将提出,则原和式可改写为腿膈它可以看作是函数在区间上的积分和,莅所采用的是n等分区间,并且在每个小区间上均取右端函数值。因此莂薈例2求袈解:原式=莆=蒁=节=虿=膄=袃注1把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。蚁结论1若lnf(x)在上可积,{}与{}为收敛数列,则{+},{-},{}也都是收敛数列,且有羂肀例:3求袅解:芇莄薀由,薆得==(1)(2)罿例4求莆解:=。薁(1)夹逼准则:若一正整数,当时,,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和,使得。肆例5:求的极限芇羃解:因为单调递减,所以存在最大项和最小项袈袇羄肁则薁又因为薇肅(2):单调有界准则:单调有界数列必有极限,而且极限唯一。莄利用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的存在,然后根据数列的通项递推公式求极限。羁例6证明下列数列的极限存在,并求极限。芈袃证明:从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。。肈两端除以得羄因为则,从而蚁蝿即是有界的。根据定理有极限,而且极限唯一。(1)公式型螃若是等比数列,其前n项和为,公比q满足│q│<1,则膁例7若数列的通项是,则求蚈解:艿则是等比数列,且其首项为,公比为;袄是等比数列,且其首项为,公比为。蒄所以莁(2)分式型螅分子、分母同除以某代数式,使之符合极限的运算法则。若分子、分母事多项式,则分子、分母同除以n的最高次幂,然后利用(k>0)来求极限;若分子、分母含指数式,则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项,然后利用(│q│<1)来求极限。袆例8求薂解:,螁蒆则原式=蚃(3)无理式型螀一般是先有理化,然后利用极限的运算法则膀例9已知a、b为常数,且,求a、b的值芆解:螄=肃=蚀则解得a=,b=4羇(4)和型或积型